Квадратный корень из 2

	Иррациональные числа; ζ(3) — ρ — √2 — √3 — √5 — ln 2 — φ,Φ — ψ — α,δ — e — eπ и π
Система счисления	Оценка числа √2
Десятичная	1,4142135623730950488…
Двоичная	1,0110101000001001111…
Шестнадцатеричная	1,6A09E667F3BCC908B2F…
Шестидесятеричная	1; 24 51 10 07 46 06 04 44 50 …
Рациональные приближения	3/2; 7/5; 17/12; 41/29; 99/70; 239/169; 577/408; 1393/985; 3363/2378; 8119/5741; 19601/13860; 665857/470832 (перечислено в порядке увеличения точности)
Непрерывная дробь

Квадратный корень из числа 2 — положительное вещественное число, которое при умножении само на себя даёт число 2. Обозначение: ${\sqrt {2}}.$

Геометрически корень из 2 можно представить как длину диагонали квадрата со стороной 1 (это следует из теоремы Пифагора). Вероятно, это было первое известное в истории математики иррациональное число (то есть число, которое нельзя точно представить в виде дроби).

Хорошим и часто используемым приближением к ${\sqrt {2}}$ является дробь ${\tfrac {99}{70}}$ . Несмотря на то, что числитель и знаменатель дроби лишь двузначные целые, оно отличается от реального значения меньше, чем на 1/10000.

История

Вавилонская глиняная табличка с максимально точным указанием длины диагонали единичного квадрата четырёхзначным шестидесятеричным числом.

Вавилонская глиняная табличка (ок. 1800—1600 до н. э.) даёт наиболее точное приближённое значение ${\sqrt {2}}$ при записи в четырёх шестидесятеричных цифрах, что после округления составляет 6 точных десятичных цифр:

1+{\frac {24}{60}}+{\frac {51}{60^{2}}}+{\frac {10}{60^{3}}}=1.41421(296)\,.

Другое раннее приближение этого числа в древнеиндийском математическом тексте, называемом «Шульба-сутры» (ок. 800—200 до н. э.) даётся следующим образом:

1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3\cdot 4}}-{\frac {1}{3\cdot 4\cdot 34}}={\frac {577}{408}}\approx 1.414215686\,.

Пифагорейцы обнаружили, что диагональ квадрата несоизмерима с его стороной, или на современном языке, что квадратный корень из двух является иррациональным числом. Мало что известно с определённостью о времени и обстоятельствах этого выдающегося открытия, но традиционно его авторство приписывается Гиппасу из Метапонта, которого за это открытие, по разным вариантам легенды, пифагорейцы не то убили, не то изгнали, поставив ему в вину разрушение главной пифагорейской доктрины о том, что «всё есть [натуральное] число». Поэтому квадратный корень из 2 иногда называют постоянной Пифагора, так как именно пифагорейцы доказали его иррациональность, тем самым открыв существование иррациональных чисел^[2]. Однако историки сомневаются в достоверности этих событий, и вообще в том, что несоизмеримые величины были открыты в 5 веке до н. э.^[3]

Алгоритмы вычисления

Существует множество алгоритмов для приближения значения квадратного корня из двух обыкновенными или десятичными дробями. Самый популярный алгоритм для этого, который используется во многих компьютерах и калькуляторах, это вавилонский метод вычисления квадратных корней (частный случай метода Ньютона). Он состоит в следующем:

a_{n+1}={\frac {a_{n}+{\frac {2}{a_{n}}}}{2}}={\frac {a_{n}}{2}}+{\frac {1}{a_{n}}}.

Чем больше повторений в алгоритме (то есть, чем больше $n$ ), тем лучше приближение квадратного корня из двух. Каждое повторение приблизительно удваивает количество правильных цифр. Несколько первых приближений, начиная с $a_{0}=1$ :

${\frac {3}{2}}={\color {Green}1}{,}5$
${\frac {17}{12}}={\color {Green}1{,}41}6\ldots$
${\frac {577}{408}}={\color {Green}1{,}41421}5\ldots$
${\frac {665857}{470832}}={\color {Green}1{,}41421356237}46\ldots$

В 1997 году Ясумаса Канада вычислил значение ${\sqrt {2}}$ до 137 438 953 444 десятичных знаков после запятой. В феврале 2007 года рекорд был побит: Сигэру Кондо вычислил 200 миллиардов десятичных знаков после запятой в течение 13 дней и 14 часов, используя процессор с частотой 3,6 ГГц и 16 ГБ ОЗУ.

Мнемоническое правило

Для запоминания значения корня из двойки с восемью знаками после запятой (1,41421356) можно воспользоваться следующим текстом (число букв в каждом слове соответствует десятичной цифре): «И плод у меня, но у них много корней».

Свойства квадратного корня из двух

Половина ${\sqrt {2}}$ приблизительно равна 0,70710 67811 86548; эта величина даёт в геометрии и тригонометрии координаты единичного вектора, образующего угол 45° с координатными осями:

{\frac {\sqrt {2}}{2}}={\sqrt {\frac {1}{2}}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}=\cos 45^{\circ }=\sin 45^{\circ }.

Одно из интересных свойств ${\sqrt {2}}$ состоит в следующем:

\ {1 \over {{\sqrt {2}}-1}}={\sqrt {2}}+1

. Потому что

({\sqrt {2}}+1)({\sqrt {2}}-1)=2-1=1.

Это является результатом свойства серебряного сечения.

Другое интересное свойство ${\sqrt {2}}$ :

{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+\cdots }}}}}}=2.

Квадратный корень из двух может быть выражен в мнимых единицах i, используя только квадратные корни и арифметические операции:

{\frac {{\sqrt {i}}+i{\sqrt {i}}}{i}}

и

{\frac {{\sqrt {-i}}-i{\sqrt {-i}}}{-i}}.

Квадратный корень из 2 является единственным числом, отличным от 1, чья бесконечная тетрация равна его квадрату.

{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{\ \cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}}=2

Квадратный корень из двух может быть также использован для приближения $\pi$ :

2^{m}{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+\cdots +{\sqrt {2}}}}}}}}\to \pi \quad

при

m\to \infty .

С точки зрения высшей алгебры, ${\sqrt {2}}$ является корнем многочлена $x^{2}-2$ и поэтому является целым алгебраическим числом^[4]. Множество чисел вида $a+b{\sqrt {2}}$ , где $a,b$ — рациональные числа, образует алгебраическое поле. Оно обозначается $\mathbb {Q} [{\sqrt {2}}]$ и является подполем поля вещественных чисел.

Доказательство иррациональности

Доказательство через разложение на множители

Применим доказательство от противного: допустим, ${\sqrt {2}}$ рационален, то есть представляется в виде дроби ${\frac {m}{n}}$ , где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное.

Возведём предполагаемое равенство в квадрат:

{\sqrt {2}}={\frac {m}{n}}\Rightarrow 2={\frac {m^{2}}{n^{2}}}\Rightarrow m^{2}=2n^{2}

.

Так как разложение $m^{2}$ на простые множители содержит $2$ в чётной степени, а $2n^{2}$ — в нечётной, равенство $m^{2}=2n^{2}$ невозможно. Значит, исходное предположение было неверным, и ${\sqrt {2}}$ — иррациональное число.

Непрерывная дробь

Квадратный корень из двух может быть представлен в виде непрерывной дроби:

\ {\sqrt {2}}=1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+\ddots }}}}}}}}.

Подходящие дроби данной непрерывной дроби дают приближённые значения, быстро сходящиеся к точному квадратному корню из двух. Способ их вычисления прост: если обозначить предыдущую подходящую дробь ${\frac {m}{n}}$ , то последующая имеет вид ${\frac {m+2n}{m+n}}$ . Скорость сходимости здесь меньше, чем у вавилонского метода, но вычисления гораздо проще. Выпишем несколько первых приближений:

{\frac {3}{2}};\ {\frac {7}{5}};\ {\frac {17}{12}};\ {\frac {41}{29}};\ {\frac {99}{70}};\ {\frac {239}{169}};\ {\frac {577}{408}};\ {\frac {1393}{985}};\ {\frac {3363}{2378}}\dots

Квадрат последней приведенной дроби равен (округлённо) 2,000000177.

Практическое применение

Размер бумаги

$\ {\sqrt {2}}$ используется в соотношении сторон листа бумаги формата ISO 216 серий A и B, а также серии C по ISO 217. Соотношение сторон равно $1:{\sqrt {2}}$ . При разрезании листа пополам параллельно его короткой стороне получатся два листа той же пропорции. Это позволяет нумеровать форматы бумаги одним числом по убыванию площади листа (числу разрезов): А0, А1, А2, А3, А4,… и B0, B1, B2, B3...

Аналогичным способом (делением листа пополам) рациональное приближение к корню из двух (7/5) используется в форматах фотобумаги: 2R (2,5×3,5 дюйма), 3R (3,5×5 дюймов), 5R (5×7").

См. также

Примечания

↑ The Square Root of Two, to 5 million digits (неопр.). Дата обращения: 15 февраля 2015. Архивировано 24 сентября 2015 года.
↑ The dangerous ratio (неопр.) (2 января 2011). Дата обращения: 28 ноября 2024. Архивировано 28 ноября 2024 года.
↑ Von Fritz, Kurt (1944). "The discovery of incommensurability by Hippasus of Metapontum" (PDF). Annals of Mathematics (англ.). 46 (2): 242–243. JSTOR 1969021. Архивировано (PDF) 13 ноября 2020. Дата обращения: 28 ноября 2024.
↑ Не путать с целым числом.

Литература

Клауди Альсина. Секта чисел. Теорема Пифагора. — М.: Де Агостини, 2014. — 152 с. — (Мир математики: в 45 томах, том 5). — ISBN 978-5-9774-0633-8.

Ссылки

Pythagoras’s Constant Архивная копия от 20 декабря 2018 на Wayback Machine (англ.).

[1] The Square Root of Two, to 5 million digits (неопр.). Дата обращения: 15 февраля 2015. Архивировано 24 сентября 2015 года.

[v100-2] The dangerous ratio (неопр.) (2 января 2011). Дата обращения: 28 ноября 2024. Архивировано 28 ноября 2024 года.

[v101-3] Von Fritz, Kurt (1944). "The discovery of incommensurability by Hippasus of Metapontum" (PDF). Annals of Mathematics (англ.). 46 (2): 242–243. JSTOR 1969021. Архивировано (PDF) 13 ноября 2020. Дата обращения: 28 ноября 2024.

[4] Не путать с целым числом.

[1]

[2]

[3]

[4]

Иррациональные числа ζ(3) — ρ — √2 — √3 — √5 — ln 2 — φ,Φ — ψ — α,δ — e — e^π и π
Система счисления	Оценка числа √2
Десятичная	1,4142135623730950488…
Двоичная	1,0110101000001001111…
Шестнадцатеричная	1,6A09E667F3BCC908B2F…
Шестидесятеричная	1; 24 51 10 07 46 06 04 44 50 …
Рациональные приближения	³/₂; ⁷/₅; ¹⁷/₁₂; ⁴¹/₂₉; ⁹⁹/₇₀; ²³⁹/₁₆₉; ⁵⁷⁷/₄₀₈; ¹³⁹³/₉₈₅; ³³⁶³/₂₃₇₈; ⁸¹¹⁹/₅₇₄₁; ¹⁹⁶⁰¹/₁₃₈₆₀; ⁶⁶⁵⁸⁵⁷/₄₇₀₈₃₂ (перечислено в порядке увеличения точности)
Непрерывная дробь	$1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+\ddots }}}}}}}}$