Формулы Виета

Эта статья — о формулах, связывающих коэффициенты многочлена и его корни. О формуле представления числа π см. Формула Виета для приближения числа π.

Формулы Виета — формулы, связывающие коэффициенты многочлена и его корни.

Этими формулами удобно пользоваться для проверки правильности нахождения корней многочлена, а также для составления многочлена по заданным корням.

Эти тождества неявно присутствуют в работах Франсуа Виета. Однако Виет рассматривал только положительные вещественные корни, поэтому у него не было возможности записать эти формулы в общем виде.

Формулировка

Если $c_{1},c_{2},\ldots ,c_{n}$ — корни многочлена

$x^{n}+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+\ldots +a_{n}$

(каждый корень взят соответствующее его кратности число раз, при этом общее количество корней с учётом кратных равно степени многочлена, иначе формулы неприменимы), то коэффициенты $a_{1},\ldots ,a_{n}$ выражаются в виде симметрических многочленов от корней, а именно:

${\textstyle {\begin{aligned}a_{1}&=-(c_{1}+c_{2}+\ldots +c_{n}),\\a_{2}&=c_{1}c_{2}+c_{1}c_{3}+\ldots +c_{1}c_{n}+c_{2}c_{3}+\ldots +c_{n-1}c_{n},\\a_{3}&=-(c_{1}c_{2}c_{3}+c_{1}c_{2}c_{4}+\ldots +c_{n-2}c_{n-1}c_{n}),\\&~~\ldots \\a_{n-1}&=(-1)^{n-1}(c_{1}c_{2}\ldots c_{n-1}+c_{1}c_{2}\ldots c_{n-2}c_{n}+\ldots +c_{2}c_{3}...c_{n}),\\a_{n}&=(-1)^{n}c_{1}c_{2}\ldots c_{n}.\end{aligned}}}$

Иначе говоря, $(-1)^{k}a_{k}$ равно сумме всех возможных произведений из $k$ корней.

Для применимости формул Виета обязательно наличие полного разложения многочлена, то есть количество корней с учётом кратности должно равняться степени многочлена. Это имеет место, в частности, всегда над полем комплексных чисел.

Следствие: из последней формулы Виета следует, что если все корни многочлена целочисленные, а общее их количество с учётом кратности равно степени многочлена, то они являются делителями его свободного члена, который также целочисленен.

Если старший коэффициент многочлена не равен единице:

$a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+\ldots +a_{n},$

то для применения формулы Виета необходимо предварительно разделить все коэффициенты на $a_{0}$ (это не влияет на значения корней многочлена). В этом случае формулы Виета дают выражение для отношений всех коэффициентов к старшему:

${\frac {a_{k}}{a_{0}}}=(-1)^{k}\sum _{1\leqslant i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leqslant n}c_{i_{1}}c_{i_{2}}\dots c_{i_{k}},\quad k=1,2,\dots ,n.$

Подобная методика применима не только в случае, когда все корни целые. Например, при умножении любого многочлена только с целыми корнями на многочлен $x^{2}+1$ получается многочлен с подобным свойством, позволяющим выделить целые корни этим же методом, понизив в результате степень и дойдя до полного разложения. Также алгоритм имеет полезное расширение для поиска рациональных корней: для этого в качестве тестируемых кандидатов на корни рассматриваются дроби, в которых числитель является делителем свободного члена, а знаменатель — делителем старшего коэффициента.

Доказательство

Доказательство осуществляется рассмотрением равенства, полученного разложением многочлена по корням, учитывая, что $a_{0}=1$

$x^{n}+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+\ldots +a_{n}=(x-c_{1})(x-c_{2})\cdots (x-c_{n}).$

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях $x$, получаем формулы Виета.

Примеры

Квадратное уравнение

Если $x_{1}$ и $x_{2}$ — корни квадратного уравнения $ax^{2}+bx+c=0$, то

${\begin{cases}x_{1}+x_{2}=-{\dfrac {b}{a}},\\x_{1}x_{2}={\dfrac {c}{a}}.\end{cases}}$

В частном случае, если $a=1$ (приведённая форма $x^{2}+px+q=0$), то

${\begin{cases}x_{1}+x_{2}=-p,\\x_{1}x_{2}=q.\end{cases}}$

Кубическое уравнение

Если $x_{1},x_{2},x_{3}$ — корни кубического уравнения $p(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$, то

${\begin{cases}x_{1}+x_{2}+x_{3}=-{\dfrac {b}{a}},\\x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}={\dfrac {c}{a}},\\x_{1}x_{2}x_{3}=-{\dfrac {d}{a}}.\end{cases}}$

Вариации и обобщения

Из приведённого выше доказательства видно, что формулы Виета получаются чисто алгебраически из свойств сложения и умножения. Поэтому они применимы к многочленам с коэффициентами из произвольной области целостности $\mathbb {K}$, если старший коэффициент многочлена равен единице $\mathbb {K} ,$ а корни располагаются в алгебраическом замыкании поля частных для $\mathbb {K} .$

Если коэффициенты многочлена берутся из произвольного коммутативного кольца, не являющегося областью целостности (то есть имеющего делители нуля), то формулы Виета, вообще говоря, не выполняются. Например, рассмотрим в качестве $\mathbb {K}$ кольцо вычетов по модулю $8$ и многочлен $P(x)=x^{2}-1.$ Он имеет в этом кольце не два, а четыре корня: $1,3,5,7.$ Поэтому использованное в доказательстве разложение на линейные множители, число которых равно числу корней, не имеет места, и формулы Виета, как легко проверить, неверны.

См. также

• Основная теорема алгебры
• Теорема Безу
• Тождества Ньютона
• Прыжки Виета

Литература

• Винберг Э. Б. Алгебра многочленов. Учебное пособие для студентов-заочников III—IV курсов физико-математических факультетов педагогических институтов. — М.: Просвещение, 1980.
• Weisstein, Eric W. Vieta’s Formulas / From MathWorld--A Wolfram Web Resource (англ.)
• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Viète theorem» (недоступная ссылка), Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4 (англ.)
• Funkhouser, H. Gray (1930), «A short account of the history of symmetric functions of roots of equations», American Mathematical Monthly (Mathematical Association of America) 37 (7): 357—365, doi:10.2307/2299273, JSTOR 2299273 (англ.)