Клика (теория графов)

Кликой неориентированного графа называется подмножество его вершин, в котором все вершины соединены ребром между собой. Клики являются одной из основных концепций теории графов и используются во многих других математических задачах и построениях с графами. Клики изучаются также в информатике — задача определения, существует ли клика данного размера в графе (Задача о клике) является NP-полной. Несмотря на эту трудность, изучаются многие алгоритмы для поиска клик.

Граф с 23 кликами, содержащими 1 вершину (вершины графа), 42 кликами, состоящими из 2 вершин (рёбра графа), 19 кликами, состоящими из 3 вершин (закрашенные треугольники) и двумя кликами, состоящими из 4 вершин (тёмно-синие области).
Шесть рёбер не входят ни в один треугольник и 11 светло-голубых треугольников образуют максимальные клики.
Две тёмно-синие 4-клики являются как наибольшими, так и максимальными, и кликовое число графа равно 4.

Хотя изучение полных подграфов началось ещё с формулировки теоремы Рамсея в терминах теории графов Эрдёшем и Секерешем. Термин «клика» пришёл из работы Люка и Пери, использовавших полные подграфы при изучении социальных сетей для моделировании клик людей, то есть групп людей, знакомых друг с другом. Клики имеют много других приложений в науке, и, в частности, в биоинформатике.

Определения

Кликой в неориентированном графе $G=(V,E)$ называется подмножество вершин $C\subseteq V$, такое что для любых двух вершин в $C$ существует ребро, их соединяющее. Это эквивалентно утверждению, что подграф, порождённый $C$, является полным.

Максимальная клика или клика, максимальная по включению — это клика, которую нельзя расширить добавлением в неё вершин. Иначе говоря, в данном графе нет клики большего размера, в которую она входит.

Наибольшая клика или клика, максимальная по размеру — это клика максимального размера для данного графа.

Кликовое число $\omega (G)$ графа $G$ — это число вершин в наибольшей клике графа $G$. Число пересечений графа $G$ — это наименьшее число клик, вместе покрывающих все рёбра графа $G$.

Противоположное клике понятие — это независимое множество в том смысле, что каждая клика соответствует независимому множеству в дополнительном графе. Задача о покрытии кликами состоит в нахождении как можно меньшего числа клик, содержащих все вершины графа.

Связанный термин — это биклика, полный двудольный подграф. Двудольная размерность графа — это минимальное число биклик, необходимых для покрытия всех рёбер графа.

Математика

Математические результаты относительно клик включают следующие.

• Теорема Турана даёт нижнюю границу числа клик в плотных графах. Если граф имеет достаточно много рёбер, он должен содержать клику. Например, любой граф с $n$ вершинами и более чем $\scriptstyle \lfloor {\frac {n}{2}}\rfloor \cdot \lceil {\frac {n}{2}}\rceil$ рёбрами должен иметь клику из трёх вершин.
• Теорема Рамсея утверждает, что любой граф или его дополнительный граф содержит клику как минимум с логарифмическим числом вершин.
• Согласно результатам Муна и Мозера, граф с $3n$ вершинами может содержать максимум $3^{n}$ наибольших клики. Графы, удовлетворяющие этой границе — это графы Муна — Мозера $K_{3,3,\dots }$ — специальный случай графов Турана, возникающий как экстремальный случай теоремы Турана.
• Гипотеза Хадвигера, остающаяся недоказанной, связывает размер наибольшей клики минора в графе (его Число Хадвигера) с его хроматическим числом.
• Гипотеза Эрдёша — Фабера — Ловаша — это другое недоказанное утверждение относительно связи раскраски графа с кликами.

Некоторые важные классы графов можно определить их кликами:

• Хордальный граф — это граф, вершины которого могут быть упорядочены в порядке совершенного исключения; порядке, при котором соседи каждой вершины $v$ идут после вершины $v$.
• Кограф — это граф, все порождённые подграфы которого имеют свойство, что любая наибольшая клика пересекается с любым наибольшим независимым множеством в единственной вершине.
• Интервальный граф — это граф, наибольшие клики которого можно упорядочить так, что для любой вершины $v$, клики, содержащие $v$, идут последовательно.
• Рёберный граф — это граф рёбра которого могут быть покрыты кликами без общих рёбер, притом каждая вершина будет принадлежать в точности двум кликам.
• Совершенный граф — это граф, в котором кликовое число равно хроматическому числу в каждом порождённом подграфе.
• Расщепляемый граф — это граф, в котором некоторый набор клик содержит по крайней мере одну вершину из каждого ребра.
• Граф без треугольников — это граф, в котором нет других клик кроме вершин и рёбер.

Кроме того, многие другие математические построения привлекают клики графов. Среди них:

• Совокупность клик графа $G$ — это абстрактная симплексная совокупность $X(G)$ с симплексом для каждой клики в $G$;
• Симплекс-граф — это неориентированный граф $\kappa (G)$ с вершинами для каждой клики в графе $G$ и рёбрами, соединяющими две клики, отличающиеся одной вершиной. Этот граф является примером медианного графа и связан с алгеброй медиан на кликах графа — медиана $m(A,B,C)$ трёх клик $A$, $B$ и $C$ — это клика, вершины которой принадлежат по крайней мере двум кликам из $A$, $B$ и $C$;
• Сумма по клике — это метод комбинирования двух графов путём их слияния по клике;
• Кликовая ширина — это категория сложности графов в терминах минимального числа различных меток вершин, необходимых для построения графа из разрозненных наборов с помощью операций разметки и операций соединения всех пар вершин с одинаковыми метками. Графы с кликовой шириной единица — это в точности разрозненные наборы клик;
• Число пересечений графа — это минимальное число клик, необходимых для покрытия всех рёбер графа.

Близкая концепция к полным подграфам — это разбиения графов на полные подграфы и полные миноры графа. В частности, теорема Куратовского и теорема Вагнера характеризуют планарные графы путём запрещения полных и полных двудольных подграфов и миноров, соответственно.

Информатика

Основная статья: Задача о клике

В информатике задача о клике — это вычислительная задача нахождения максимальной клики или клик в заданном графе. Задача является NP-полной, одной из 21 NP-полных задач Карпа. Она также сложна для параметрического приближения и трудно аппроксимируема. Тем не менее разработано много алгоритмов для работы с кликами, работающих либо за экспоненциальное время (такие как алгоритм Брона — Кербоша), либо специализирующиеся на семействах графов, таких как планарные графы или совершенные графы, для которых задача может быть решена за полиномиальное время.

Бесплатное программное обеспечение для поиска максимальной клики

Ниже приведён список свободно распространяемого программного обеспечение для поиска максимальной клики.

Название	Лицензия	Язык API	Короткое описание
NetworkX	BSD	Python	приближённое решение, смотри процедуру max_clique (недоступная ссылка)
maxClique	CRAPL	Java	точные алгоритмы, реализации DIMACS Архивная копия от 23 сентября 2015 на Wayback Machine
OpenOpt	BSD	Python	точные и приближённые решения, возможность указать рёбра, которые должны быть включены (MCP)

Применение

Много различных задач биоинформатики смоделированы с помощью клик. Например, Бен-Дор, Шамир и Яхини моделировали задачу разбиения на группы экспрессии генов как задачу поиска минимального числа изменений, необходимых для преобразования графа данных в граф, сформированный несвязными наборами клик. Танай, Шаран и Шамир обсуждают похожую задачу бикластеризации данных экспрессии генов, в которой кластеры должны быть кликами. Сугихара использовал клики для моделирования экологических ниш в пищевых цепях. Дей и Санков описывают задачу описания эволюционных деревьев как задачу нахождения максимальных клик в графе, в котором вершины представляют характеристики, а две вершины соединены ребром, если существует идеальная история развития, комбинирующая эти две характеристики. Самудрала и Молт моделировали предсказание структуры белка как задачу нахождения клик в графе, вершины которого представляют позиции частей белка, а путём поиска клик в схеме взаимодействия белок-белок. Спирит и Мирни нашли кластеры белков, которые взаимодействуют тесно друг с другом и имеют слабое взаимодействие вне кластера. Анализ мощности графа — это метод упрощения сложных биологических систем путём нахождения клик и связанных структур в этих системах.

В электротехнике Прихар использовал клики для анализа коммуникационных сетей, а Паул и Унгер использовали их для разработки эффективных схем для вычисления частично определённых булевских функций. Клики используются также в автоматических генерациях тестовых шаблонов — большая клика в графе несовместимости возможных дефектов даёт нижнюю границу множества тестовов. Конг и Смит описывают применение клик для поиска иерархических структур в электрических схемах.

В химии Родес и соавторы использовали клики для описания химических соединений в химической базе данных, имеющих высокую степень похожести. Кул, Крипен и Фризен использовали клики для моделирования позиций, в которых два химических соединения связываются друг с другом.

См. также

• Флаговый комплекс

Литература

• Paul Erdős, George Szekeres. A combinatorial problem in geometry // Compositio Math. — 1935. — Т. 2. — С. 463—470.
• Luce R. Duncan, Albert D. Perry. A method of matrix analysis of group structure // Psychometrika. — 1949. — Т. 2, вып. 14. — С. 95—116. — doi:10.1007/BF02289146. — PMID 18152948.
• Moon, J. W., Leo Moser. On cliques in graphs // Israel J. Math.. — 1965. — Т. 3. — С. 23–28. — doi:10.1007/BF02760024.
• Ronald Graham, B. Rothschild, Joel Spencer. Ramsey Theory. — New York: John Wiley and Sons, 1990. — ISBN 0-471-50046-1.
• Paul Turán. On an extremal problem in graph theory (венг.) // Matematikai és Fizikai Lapok. — 1941. — Т. 48. — С. 436—452.
• Richard D. Alba. A graph-theoretic definition of a sociometric clique // Journal of Mathematical Sociology. — 1973. — Т. 3, вып. 1. — С. 113—126. — doi:10.1080/0022250X.1973.9989826.
• Edmund R. Peay. Hierarchical clique structures // Sociometry. — 1974. — Т. 37, вып. 1. — С. 54—65. — doi:10.2307/2786466. — .
• Patrick Doreian, Katherine L. Woodard. Defining and locating cores and boundaries of social networks // Social Networks. — 1994. — Т. 16, вып. 4. — С. 267—293. — doi:10.1016/0378-8733(94)90013-2.
• Richard M. Karp. Complexity of Computer Computations / R. E. Miller, J. W. Thatcher. — New York: Plenum, 1972. — С. 85–103.
• Amir Ben-Dor, Ron Shamir, Zohar Yakhini. Clustering gene expression patterns // Journal of Computational Biology. — 1999. — Т. 6, вып. 3—4. — С. 281—297. — doi:10.1089/106652799318274. — PMID 10582567.
• Amos Tanay, Roded Sharan, Ron Shamir. Discovering statistically significant biclusters in gene expression data // Bioinformatics. — 2002. — Т. 18, вып. Suppl. 1. — С. S136—S144. — doi:10.1093/bioinformatics/18.suppl_1.S136. — PMID 12169541.
• George Sugihara. Population Biology / editor: Simon A. Levin. — 1984. — Т. 30. — С. 83—101.
• William H. E. Day, David Sankoff. Computational complexity of inferring phylogenies by compatibility // Systematic Zoology. — 1986. — Т. 35, вып. 2. — С. 224—229. — doi:10.2307/2413432. — .
• Ram Samudrala, John Moult. A graph-theoretic algorithm for comparative modeling of protein structure // Journal of Molecular Biology. — 1998. — Т. 279, вып. 1. — С. 287—302. — doi:10.1006/jmbi.1998.1689. — PMID 9636717.
• Victor Spirin, Leonid A. Mirny. Protein complexes and functional modules in molecular networks // Proceedings of the National Academy of Sciences. — 2003. — Т. 100, вып. 21. — С. 12123—12128. — doi:10.1073/pnas.2032324100. — PMID 14517352. — PMC 218723.
• Z. Prihar. Topological properties of telecommunications networks // Proceedings of the IRE. — 1956. — Т. 44, вып. 7. — С. 927—933. — doi:10.1109/JRPROC.1956.275149.
• M. C. Paull, S. H. Unger. Minimizing the number of states in incompletely specified sequential switching functions. — 1959. — Vol. EC-8. — Вып. 3. — С. 356—367. — doi:10.1109/TEC.1959.5222697.
• J. Cong, M. Smith. Proc. 30th International Design Automation Conference. — 1993. — С. 755–760. — doi:10.1145/157485.165119.
• Nicholas Rhodes, Peter Willett, Alain Calvet, James B. Dunbar, Christine Humblet. CLIP: similarity searching of 3D databases using clique detection // Journal of Chemical Information and Computer Sciences. — 2003. — Т. 43, вып. 2. — С. 443—448. — doi:10.1021/ci025605o. — PMID 12653507.
• F. S. Kuhl, G. M. Crippen, D. K. Friesen. A combinatorial algorithm for calculating ligand binding // Journal of Computational Chemistry. — 1983. — Т. 5, вып. 1. — С. 24–34. — doi:10.1002/jcc.540050105.
• Kazimierz Kuratowski. Sur le probléme des courbes gauches en Topologie (фр.) // Fundamenta Mathematicae. — 1930. — Т. 15. — С. 271—283.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Clique (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. Clique Number (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.