Гипотеза Хадвигера (теория графов)

Не следует путать с проблемой Нелсона — Эрдёша — Хадвигера.

Гипотеза Хадвигера (теория графов) — одна из неразрешённых гипотез теории графов. Она формулируется следующим образом: всякий $k$-хроматический граф стягиваем к полному графу на $k$ вершинах.

Другие формулировки

В графе, раскрашенном в 4 цвета, отмечены 4 подграфа, между любыми двумя из них есть ребро

Гипотезу Хадвигера можно сформулировать иначе: в каждом $k$-хроматическом графе обязательно существует $k$ непересекающихся связных подграфов таких, что между любыми двумя из них есть ребро.

Если ввести для графа число Хадвигера $h(G)$ — максимальное $k$ такое, что $G$ стягиваем к полному графу на $k$ вершинах, то гипотеза формулируется в виде неравенства $\chi (G)\leqslant h(G)$, где $\chi (G)$ — хроматическое число графа.

Частные случаи

Случаи $k=2$ и $k=3$ очевидны: в первом случае граф содержит хотя бы одно ребро, которое и является полным графом $K_{2}$, во втором случае граф не является двудольным и содержит цикл, стягиваемый к $K_{3}$.

Доказательство в случае $k=4$ было опубликовано самим Хадвигером в той же работе, в которой была поставлена гипотеза.

Из гипотезы Хадвигера в случае $k=5$ следует справедливость проблемы четырёх красок (ныне доказанной): операция стягивания сохраняет планарность, и, если бы существовал планарный 5-хроматический граф, то существовало бы вложение графа $K_{5}$ в плоскость, несуществование которого следует из формулы Эйлера. В 1937 году Клаус Вагнер доказал равносильность проблемы четырёх красок и гипотезы Хадвигера при $k=5$, таким образом, этот случай также доказан.

В 1993 году Н. Робертсон, П. Сеймур и Робин Томас доказали гипотезу для $k=6$, используя проблему четырёх красок. Это доказательство получило премию Фалкерсона в 1994 году.

Для $k=7$ известно, что если граф не удовлетворяет гипотезе, то он стягиваем и к $K_{4,4}$, и к $K_{3,5}$ — полным двудольным графам с долями мощности 4 и 4 и мощности 3 и 5 соответственно.

Число Хадвигера

Можно определить отображение $h(G)$, сопоставляющее графу $G$ максимальное $k$ такое, что $G$ стягиваем к полному графу на $k$ вершинах. Нахождение числа Хадвигера данного графа — NP-трудная задача. В любом графе $G$, для которого $h(G)=k$, существует вершина степени $O(k{\sqrt {\log k}})$. Применяя жадный алгоритм для раскраски графа, из этого утверждения можно вывести, что $\chi (G)=O(h(G){\sqrt {\log h(G)}})$.

См. также

• Гипотеза Хадвигера (комбинаторная геометрия)