Инвариант узла

Инвариа́нт узла́ — любая характеристика узла (в простейшем число, но может быть многочленом, группой и так далее), которая определена для каждого узла и одинакова для эквивалентных узлов. Эквивалентность обычно задаётся объемлющей изотопией, но может задаваться и как гомеоморфизм.

Исследования инвариантов мотивированы не только основной задачей теории — различением узлов — но также и необходимостью понять фундаментальные свойства узлов и их связью с другими областями математики.

С современной точки зрения, естественно определять инвариант узла по его диаграмме. Конечно, инвариант должен оставаться неизменным при движениях Рейдемейстера, это свойство эквивалентно инвариантности характеристики.

Примеры

• Простейшим примером инварианта является возможность раскрасить узел в три цвета, а также число таких раскрасок.
• Одними из самых удобных инвариантов для различения узлов являются многочлены узлов:
  • Многочлен Джонса
  • Многочлен Александера
• Инварианты конечного типа — класс инвариантов узлов, характеризующийася определённым соотношением на все разрешения сингулярного узла с данным числом самопересечений.
• Другие инварианты могут быть определены при рассмотрении некоторых целочисленных функций на узловых диаграммах, взятием их минимума среди всех возможных диаграмм данного узла. К этому типу относится число сечений, которое является минимумом количества перекрёстов среди всех диаграмм узла, а также минимальное число мостов. Такие инварианты легко определить на почти невозможно посчитать.
• Теорема Гордона — Люка утверждает, что дополнение узла (как топологического пространства) является «полным инвариантом» узла, в том смысле, что он отличает заданный узел от всех остальных с точностью до объемлющей изотопии и зеркального отражения. Среди инвариантов, связанных с дополнением узла, есть группа узла, которая является просто фундаментальной группой его дополнения. Квандл узла (knot quandle) также является полным инвариантом в этом смысле, но квандлы трудно сравнивать на изоморфность.
• Гиперболическая структура на дополнении гиперболического зацепления однозначно определяется жёсткостью Мостова, поэтому гиперболический объём инвариантен для этих узлов и зацеплений. Объём и другие гиперболические инварианты оказались эффективныи, для составления обширных таблиц узлов.
• Гомологические инварианты узлов, которые категорифицируют (переводят в термины теории категорий) хорошо известные инварианты. Например
  • Гомология Хигарда Флора — это теория гомологии, эйлеровой характеристикой которой является полином Александера узла. Она оказалась полезной для получения новых результатов о классических инвариантах.
  • Ещё одно направление исследований — комбинаторно определённая теория когомологий, названная гомологией Хованова, её эйлерова характеристика — полином Джонса.

Литература

• С. В. Дужин, С. В. Чмутов. Узлы и их инварианты // Матем. просв., сер.~3. — 1999. — Т. 3. — С. 59—93.