Многочлен Джонса

Многочлен Джонса — полиномиальный инвариант узла, сопоставляющий каждому узлу или зацеплению многочлен Лорана от формальной переменной $t^{1/2}$ с целыми коэффициентами. Построен Воном Джонсом в 1984 году.

Определение через скобку Кауффмана

Для заданного ориентированного зацепления $L$ определяется вспомогательный многочлен:

$X(L)=(-A^{3})^{-w(L)}\langle L\rangle$,

где $w(L)$ — число закрученности диаграммы $L$, а $\langle L\rangle$ — скобка Кауффмана. Число закрученности определяется как разница между числом положительных перекрёстков $L_{+}$ и числом отрицательных перекрёстков $L_{-}$ и не является инвариантом узла: оно не сохраняется при преобразованиях Рейдемейстера I типа.

$X(L)$ — инвариант узла, поскольку он инвариантен относительно всех трёх преобразований Рейдемейстера диаграммы $L$. Инвариантность относительно преобразований II и III типов следует из инвариантности скобки Кауффмана и числа закрученности относительно этих преобразований. Напротив, для преобразования I типа скобка Кауффмана умножается на $-A^{\pm 3}$, что в точности компенсируется изменением на +1 или −1 числа закрученности $w(L)$.

Многочлен Джонса определяется из $X(L)$ подстановкой:

$A=t^{-1/4}$,

результирующее выражение является многочленом Лорана от переменной $t^{1/2}$.

Определение через представления группы кос

Оригинальное определение Джонса использует операторную алгебру и понятие следа представления кос, возникшего в статистической механике (модель Поттса).

Теорема Александера утверждает, что любое зацепление $L$ является замыканием косы с $n$ нитями, в связи с этим можно определить представление $\rho$ группы кос $B_{n}$ с $n$ нитями на алгебре Темперли — Либа $TL_{n}$ с коэффициентами из $\mathbb {Z} [A,A^{-1}]$ и $\delta =-A^{2}-A^{-2}$. Стандартная образующая косы $\sigma _{i}$ равна $A\cdot e_{i}+A^{-1}\cdot 1$, где $1,e_{1},e_{2},...,e_{n-1}$ — стандартные образующие алгебры Темперли — Либа. Для слова $\sigma$ косы $L$ вычисляется $\sigma ^{n-1}tr\rho (\sigma )$, где $tr$ — след Маркова, в результате получается $\langle L\rangle$, где $\langle$ $\rangle$ — скобочный полином.

Преимущество этого подхода состоит в том, что выбрав аналогичные представления в других алгебрах, таких как представление $R$-матриц, можно прийти к обобщениям инвариантов Джонса (например, таковым является понятие $k$-параллельного полинома Джонса).

Определение через скейн-соотношения

Многочлен Джонса однозначно задаётся тем, что он равен 1 на любой диаграмме тривиального узла, и следующим скейн-соотношением:

$(t^{1/2}-t^{-1/2})V(L_{0})=t^{-1}V(L_{+})-tV(L_{-})$,

где $L_{+}$, $L_{-}$, и $L_{0}$ — три ориентированных диаграммы зацепления, совпадающих везде, кроме малой области, где их поведение соответственно является положительным и отрицательным пересечениями и гладким проходом без общих точек:

Свойства

Многочлен Джонса обладает многими замечательными свойствами.

Для зацеплений с нечётным числом компонент (в частности, для узлов) все степени переменной $t$ в многочлене Джонса целые, а для зацеплений с чётным числом компонент — полуцелые.

Многочлен Джонса связной суммы узлов равен произведению полиномов Джонса слагаемых, то есть:

$V(L_{1}\#L_{2})=V(L_{1})V(L_{2})$.

Многочлен Джонса несвязной суммы узлов равен:

$V(L_{1}\cup L_{2})=-(t^{-1/2}+t^{1/2})V(L_{1})V(L_{2})$.

Многочлен Джонса объединения зацепления $L$ и тривиального узла равен:

$V(L\cup O)=-(t^{-1/2}+t^{1/2})V(L)$.

Для $L^{*_{k}}$ — ориентированного зацепления, получаемого из заданного ориентированного зацепления $L$ заменой ориентации некоторой компоненты $k$ на противоположную, имеет место:

$V_{L^{*}}=t^{-3\cdot \lambda }\cdot V(L)$,

где $\lambda$ — это коэффициент зацепления компоненты $k$ и $L-k$.

Многочлен Джонса не меняется при обращении узла, то есть при замене направления обхода на противоположное (смене ориентации).

Зеркально-симметричный образ зацепления имеет многочлен Джонса, получающийся заменой $t$ на $t^{-1}$ (свойство легко проверяется с использованием определения через скобку Кауффмана).

Если $K$ — узел, тогда:

$V_{K}(e^{2\pi i/3})=1$.

Значение многочлена Джонса для зацепления $L$ с числом компонент зацепления $p$ в точке 1:

$V_{L}(1)=(-2)^{p-1}$.

Многочлен Джонса $(m,n)$-торического узла:

$V(t)={\frac {t^{\frac {(m-1)\cdot (n-1)}{2}}\cdot (1-t^{m+1}-t^{n+1}+t^{m+n})}{1-t^{2}}}$.

Открытые проблемы

В 2003 году построено семейство нетривиальных зацеплений с многочленом Джонса равным многочлену Джонса тривиального зацепления, при этом неизвестно, существует ли нетривиальный узел, многочлен Джонса которого является таким же, как и у тривиального узла. В 2017 году построено семейство нетривиальных узлов $K_{r}$ с $20\cdot 2^{r-1}+1$ пересечениями, для которых многочлен Джонса $V(K_{r})$ сравним с единицей по модулю $2^{r}$.

Вариации и обобщения

• Теория Черна — Саймонса описывает топологический порядок в состояниях дробного квантового эффекта Холла. С точки зрения математики теория Черна — Саймонса интересна тем, что позволяет вычислять инварианты узлов, такие как многочлен Джонса.

• В 2000 году Михаил Хованов построил цепной комплекс для узлов и зацеплений и показал, что гомологии этого комплекса являются инвариантом узлов (гомологии Хованова). Эта теория гомологий является категорификацией многочлена Джонса, то есть многочлен Джонса является эйлеровой характеристикой для этой гомологии.

• Многочлен HOMFLY — похожий инвариант узлов и зацеплений.

Литература

• Прасолов В. В., Сосинский А. Б. Узлы, зацепления, косы и трехмерные многообразия. — М.: МЦНМО, 1997. — 351 с. — ISBN 5-900916-10-3.