Инвариант Колен де Вердьера

Инвариант Колен де Вердьера — характеристика графа $\mu (G)$ , определённая для любого графа G, введённая Ивом Колен де Вердьером^[фр.] в 1990 году в процессе исследования кратности второго собственного значения некоторых операторов Шрёдингера.^[1]

Определение

Пусть $G=(V,E)$ — простой (не содержащий петель и кратных рёбер) ациклический граф. Без потери общности поименуем множество вершин следующим образом: $V=\{1,\dots ,n\}$ . Тогда $\mu (G)$ — наибольший коранг любой такой матрицы $M=(M_{i,j})\in \mathbb {R} ^{(n)}$ , что:

(M1) для любых $i,j$ , где $i\neq j$ : $M_{i,j}<0$ , если i и j смежны, и $M_{i,j}=0$ , в противном случае
(M2) M имеет ровно одно собственное значение кратности 1;
(M3) не существует такой ненулевой матрицы $X=(X_{i,j})\in \mathbb {R} ^{(n)}$ , что $MX=0$ , и что $X_{i,j}=0$ всякий раз, когда $i=j$ или $M_{i,j}\neq 0$ .^[2]^[1]

Классификация известных групп графов

С точки зрения инварианта Колен де Вердьера, некоторые хорошо известные семейства графов обладают характерными особенностями:

$\mu (K_{1})=0$ , $\mu (K_{n})=n-1$ , $\mu ({\overline {K_{n}}})=1$ при $n>1$ ;^[1]^[2]
μ ≤ 1 тогда и только тогда, когда G является линейным лесом (лесом, в котором каждый компонент является путём, то есть инцидентность любой вершины не больше 2);^[1]^[3]
μ ≤ 2 тогда и только тогда, когда G является внешнепланарным графом (все вершины лежат на одной грани);^[1]^[2]
μ ≤ 3 тогда и только тогда, когда G является планарным графом;^[1]^[2]
μ ≤ 4 тогда и только тогда, когда G является бессвязно встраиваемым, то есть не существует двух циклов в G, для которых при отображении на евклидово пространство (коэффициент зацепления) равен нулю.^[1]^[4]

Эти же группы графов проявляют свои отличительные черты и при анализе связи между инвариантом графа и дополнением этого графа:

Если дополнение графа с n вершинами является линейным лесом, то μ ≥ n − 3;^[1]^[5]
Если дополнение графа с n вершинами является внешнепланарным графом, тоμ ≥ n − 4;^[1]^[5]
Если дополнение графа с n вершинами является планарным графом, то μ ≥ n − 5.^[1]^[5]

Миноры графов

Минором графа G называют граф H, полученный из G последовательным удалением вершин, удалением рёбер и сжатием рёбер. Инвариант Колена де Вердьера монотонен относительно операции взятия минора в том смысле, что минорирование графа не может увеличить его инвариант:

Если H является минором G, то

\mu (H)\leq \mu (G)

.^[2]

По теореме Робертсона — Сеймура, для любого k существует H, конечное множество графов такое, что для любого графа с инвариантом не более k графы из H не могут быть минорами. В работе (Colin de Verdière 1990) перечисляются множества таких недопустимых миноров для k ≤ 3; для k = 4 множество недопустимых миноров состоит из семи графов Petersen family^[англ.] по определению бессвязно встраиваемого графа как графа с μ ≤ 4 и без графов Петерсена в качестве миноров.^[4]

Связь с хроматическим числом

(Colin de Verdière 1990) предположил, что любой граф с инвариантом де Вердьера μ может быть раскрашен с использованием не более чем μ + 1 цветов. Например, у линейных лесов (компоненты которых являются двудольными графами) инвариант равняется 1; у внешнепланарных графов инвариант равняется 2, и они могут быть раскрашены тремя цветами; у планарных графов инвариант — 3, и они могут быть раскрашены четырьмя цветами.

Для графов с инвариантом де Вердьера не более четырёх предположение истинно; они все являются бессвязно встраиваемыми, и тот факт, что они раскрашиваются пятью цветами, является следствием доказательства гипотезы Хадвигера для графов без миноров типа K₆ в работе (Robertson, Seymour & Thomas 1993).

Другие свойства

Если число пересечений графа равно k, то инвариант де Вердьера для него будет не более k + 3. Например, графы Куратовского K₅ и K_3,3 могут быть изображены с одним пересечением, и инвариант для них будет не более четырёх.^[2]

Примечания

↑ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ ⁸ ⁹ ¹⁰ (van der Holst, Lovász & Schrijver 1999).
↑ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ (Colin de Verdière 1990).
↑ В работе (Colin de Verdière 1990) этот случай явным образом не рассмотрен, но он явным образом вытекает из результатов анализа графов, не имеющих миноров вида «треугольник» и «клешня».
↑ ¹ ² (Lovász & Schrijver 1998).
↑ ¹ ² ³ (Kotlov, Lovász & Vempala 1997).

Ссылки

Colin de Verdière, Y. (1990), "Sur un nouvel invariant des graphes et un critère de planarité", Journal of Combinatorial Theory, Series B, 50 (1): 11—21, doi:10.1016/0095-8956(90)90093-F. Translated by Neil Calkin as Colin de Verdière, Y. (1993), "On a new graph invariant and a criterion for planarity", in Robertson, Neil; Seymour, Paul (eds.), Graph Structure Theory: Proc. AMS–IMS–SIAM Joint Summer Research Conference on Graph Minors, Contemporary Mathematics, vol. 147, American Mathematical Society, pp. 137—147.
van der Holst, Hein; Lovász, László; Schrijver, Alexander (1999), "The Colin de Verdière graph parameter", Graph Theory and Combinatorial Biology (Balatonlelle, 1996), Bolyai Soc. Math. Stud., vol. 7, Budapest: János Bolyai Math. Soc., pp. 29—85.
Kotlov, Andrew; Lovász, László; Vempala, Santosh (1997), "The Colin de Verdiere number and sphere representations of a graph", Combinatorica, 17 (4): 483—521, doi:10.1007/BF01195002
Lovász, László; Schrijver, Alexander (1998), "A Borsuk theorem for antipodal links and a spectral characterization of linklessly embeddable graphs", Proceedings of the American Mathematical Society, 126 (5): 1275—1285, doi:10.1090/S0002-9939-98-04244-0.
Robertson, Neil; Seymour, Paul; Thomas, Robin (1993), "Hadwiger's conjecture for K₆-free graphs" (PDF), Combinatorica, 13: 279—361, doi:10.1007/BF01202354.

[hls99-1] ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ ⁸ ⁹ ¹⁰ (van der Holst, Lovász & Schrijver 1999).

[cdv90-2] ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ (Colin de Verdière 1990).

[3] В работе (Colin de Verdière 1990) этот случай явным образом не рассмотрен, но он явным образом вытекает из результатов анализа графов, не имеющих миноров вида «треугольник» и «клешня».

[ls98-4] ¹ ² (Lovász & Schrijver 1998).

[klv97-5] ¹ ² ³ (Kotlov, Lovász & Vempala 1997).

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]