Википедия

Додекаэдральные соты порядка 4

Додекаэдральные соты порядка 4
Тип Гиперболические правильные соты
Символ Шлефли {5,3,4}
{5,31,1}
Диаграммы
Коксетера — Дынкина		 node_15node3node4node
node_15node3node4node_h0 ↔ node_15nodesplit1nodes
Ячейки {5,3}
Грани Пятиугольники {5}
Рёберная фигура квадраты {4}
Вершинная фигура
Октаэдр
Двойственные соты Кубические соты порядка 5[англ.]
Группа Коксетера BH3, [5,3,4]
DH3, [5,31,1]
Свойства Regular, квазиправильные соты

В гиперболическом трёхмерном пространстве додекаэдральные соты порядка 4 — это одна из четырёх компактных правильных заполняющих пространство мозаик (или сот). Имея символ Шлефли {5,3,4}, соты имеют четыре додекаэдра вокруг каждого ребра и 8 додекаэдров вокруг каждой вершины в октаэдральном расположении. Вершины сот строятся на 3 ортогональных осях. Двойственным телом сот являются кубические соты порядка 5[англ.].

Геометрические соты — это таким образом заполняющие пространство многогранные ячейки, что не остаётся свободных промежутков. Соты являются примером более общего математического понятия замощения в пространствах любой размерности.

Соты обычно строятся в обычном евклидовом («плоском») пространстве подобно выпуклым однородным сотам[англ.]. Они могут быть построены также в неевклидовых пространствах, такие как гиперболические однородные соты[англ.]. Любой конечный однородный многогранник можно спроецировать на его описанную сферу, чтобы образовать однородные соты на сферическом пространстве.

Описание

править

Двугранный угол додекаэдра равен ~116.6°, так что невозможно разместить 4 додекаэдра на ребре в евклидовом 3-мерном пространстве. Однако в гиперболическом пространстве для додекаэдра можно подобрать размер так, что его двугранные углы уменьшаются до 90 градусов, а тогда четыре додекаэдра точно заполняют пространство вокруг каждого ребра.

Симметрия

править

Соты строятся с половинной симметрией, {5,31,1}, с двумя типами (цветами) шестиугольных мозаик в построении Витхоффа.         ↔      .

Рисунки

править
 
Соты содержат двумерную гиперболическую пятиугольную мозаику порядка 4[англ.], {5,4}

 
Модель Бельтрами — Клейна

Связанные многогранники и соты

править

Существует четыре вида правильных компактных сот в гиперболическом 3D-пространстве:

Четыре вида правильных компактных сот в H3
 
{5,3,4} 		 
{4,3,5} 		 
{3,5,3} 		 
{5,3,5}

Существует пятнадцать видов однородных сот[англ.] в семействе [5,3,4] групп Коксетера, включая эти правильные формы.

Семейство сот [5,3,4]
{5,3,4}
        		r{5,3,4}
        		t{5,3,4}
        		rr{5,3,4}
        		t0,3{5,3,4}
        		tr{5,3,4}
        		t0,1,3{5,3,4}
        		t0,1,2,3{5,3,4}
       
               
             
{4,3,5}
        		r{4,3,5}
        		t{4,3,5}
        		rr{4,3,5}
        		2t{4,3,5}
        		tr{4,3,5}
        		t0,1,3{4,3,5}
        		t0,1,2,3{4,3,5}
       

Существует одиннадцать видов однородных сот[англ.] в разветвлённом семействе [5,31,1] групп Коксетера, включая соты в чередующейся форме. Это построение может быть представлено чередованием (как на шахматной доске) с двумя цветами додекаэдральных ячеек.

Эти соты связаны также с 16-ячейником, кубическими сотами и шестиугольными мозаичными сотами порядка 4[англ.], все имеют октаэдральные вершинные фигуры:

Эти соты являются частью последовательности четырёхмерных многогранников и сот с додекаэдральными ячейками:

{5,3,p}
Пространство S3 H3
Вид Конечные Компактные Паракомпактные Неокомпактные
Название {5,3,3}
        		{5,3,4}
       
      		{5,3,5}
        		{5,3,6}
       
      		{5,3,7}
        		{5,3,8}
       
       		... {5,3,∞}
       
      
Рисунок              
Vertex
figure
      		 
{3,3}
      		 
{3,4}
      		 
{3,5}
      		 
{3,6}
      		 
{3,7}
      		 
{3,8}
      		 
{3,∞}
     

Полноусечённые додекаэдральные соты порядка 4

править
Полноусечённые додекаэдральные соты порядка 4
Тип Однородные соты в гиперболическом пространстве[англ.]
Символ Шлефли r{5,3,4}
r{5,31,1}
Диаграммы
Коксетера — Дынкина		        
        ↔      
Ячейки r{5,3}  
{3,4}  
Грани Треугольники {3}
пятиугольники {5}
Вершинная фигура  
куб
Группа Коксетера BH3, [5,3,4]
DH3, [5,31,1]
Свойства Вершинно транзитивные, рёберно транзитивные

Полноусечённые додекаэдральные соты порядка 4',        , имеют чередующиеся октаэдральные и икосододекаэдральные ячейки с кубом в качестве вершинной фигуры.

  
 
Соты можно рассматривать как аналог двумерной гиперболической четырёхпятиугольной мозаики[англ.], r{5,4}

Связанные соты

править

Существует четыре вида полноусечённых компактных правильных сот:

Четыре полноусечённых правильных компактных сот в H3
Рисунок        
Обозначение r{5,3,4}
        		r{4,3,5}
        		r{3,5,3}
        		r{5,3,5}
       
Вершинная
фигура 		       

Усечённые додекаэдральные соты порядка 4

править
Усечённые додекаэдральные соты порядка 4
Тип Однородные соты в гиперболическом пространстве[англ.]
Символ Шлефли t{5,3,4}
t{5,31,1}
Диаграммы
Коксетера — Дынкина		        
        ↔      
Ячейки t{5,3}  
{3,4}  
Грани Треугольники {3}
десятиугольники {10}
Вершинная фигура  
Квадратная пирамида
Группа Коксетера BH3, [5,3,4]
DH3, [5,31,1]
Свойства Вершинно транзитивные

Усечённые додекаэдральные соты порядка 4,        , имеют октаэдральные и усечённые додекаэдральные ячейки с кубом в качестве вершинной фигуры.

 

Соты можно рассматривать как аналог двумерных гиперболических усечённых пятиугольных мозаик порядка 4[англ.] t{5,4} с гранями в виде усечённых пятиугольников и квадратов:

 

Связанные соты

править
Четыре вида усечённых правильных правильных компактных сот в H3
Рисунок        
Обозначение t{5,3,4}
        		t{4,3,5}
        		t{3,5,3}
        		t{5,3,5}
       
Вершинная
фигура 		       

Биусечённые додекаэдральные соты порядка 4

править
Биусечённые додекаэдральные соты порядка 4
Биусечённые кубические соты порядка 5
Тип Однородные соты в гиперболическом пространстве[англ.]
Символ Шлефли 2t{5,3,4}
2t{5,31,1}
Диаграммы
Коксетера — Дынкина		        
        ↔      
Ячейки t{3,5}  
t{3,4}  
Грани Треугольники {3}
квадраты {4}
шестиугольники {6}
Вершинная фигура  
Тетраэдр
Группа Коксетера BH3, [5,3,4]
DH3, [5,31,1]
Свойства Вершинно транзитивные

Биусечённые додекаэдральные соты порядка 4 или биусечённые кубические соты порядка 5,        , имеют усечённые октаэдры и усечённые икосаэдры в качестве ячеек и тетраэдр в качестве вершинной фигуры.

 

Связанные соты

править
Три вида биусечённых правильных компактных сот в H3
Рисунок      
Обозначение 2t{4,3,5}
        		2t{3,5,3}
        		2t{5,3,5}
       
Вершинная
фигура 		     

Скошенные додекаэдральные соты порядка 4

править
Скошенные додекаэдральные соты порядка 4
Тип Однородные соты в гиперболическом пространстве[англ.]
Символ Шлефли rr{5,3,4}
rr{5,31,1}
Диаграммы
Коксетера — Дынкина		        
        ↔      
Ячейки rr{3,5}  
r{3,4}  
{}x{4} куб  
Грани Треугольники {3}
квадраты {4}
пятиугольники {5}
Вершинная фигура  
Треугольная призма
Группа Коксетера BH3, [5,3,4]
DH3, [5,31,1]
Свойства Вершинно транзитивные

Скошенные додекаэдральные соты порядка 4,       , имеют ромбоикосододекаэдральные, кубооктаэдральные и кубические ячейки и треугольную призму в качестве вершинной фигуры.

 

Связанные соты

править

Скошено-усечённые додекаэдральные соты порядка 4

править
Скошено-усечённые додекаэдральные соты порядка 4
Тип Однородные соты в гиперболическом пространстве[англ.]
Символ Шлефли tr{5,3,4}
tr{5,31,1}
Диаграммы
Коксетера — Дынкина		        
        ↔      
Ячейки tr{3,5}  
t{3,4}  
{}x{4} Кубы  
Грани квадраты {4}
шестиугольники {6}
десятиугольники {10}
Вершинная фигура  
зеркальный сфеноид
Группа Коксетера BH3, [5,3,4]
DH3, [5,31,1]
Свойства Вершинно транзитивные

Скошено-усечённые додекаэдральные соты порядка 4 являются однородными сотами с диаграммой Коксетера — Дынкина         и имеющие зеркальный сфеноид в качестве вершинной фигуры.

 

Связанные соты

править
Четыре вида скошено-усечённых правильных компактных сот в H3
Рисунок        
Обозначение tr{5,3,4}
        		tr{4,3,5}
        		tr{3,5,3}
        		tr{5,3,5}
       
Вершинная
фигура 		       

Струг-усечённые додекаэдральные соты порядка 4

править
Струг-усечённые додекаэдральные соты порядка 4
Тип Однородные соты в гиперболическом пространстве[англ.]
Символ Шлефли t0,1,3{5,3,4}
Диаграммы
Коксетера — Дынкина		        
Ячейки t{5,3}  
rr{3,4}  
{}x{10}  
{}x{4}  
Грани Треугольники {3}
квадраты {4}
десятиугольники {10}
Вершинная фигура  
quad пирамида
Группа Коксетера BH3, [5,3,4]
Свойства Вершинно транзитивные

Струг-усечённые додекаэдральные соты порядка 4 — однородные соты с диаграммой Коксетера — Дынкина         и четырёхугольной пирамидой в качестве вершинной фигуры.

 

Связанные соты

править

См. также

править

Примечания

править

Литература

править
  • Coxeter. Tables I and II: Regular polytopes and honeycombs // Regular Polytopes[англ.]. — 3rd. ed.. — Dover Publications, 1973. — С. 294–296. — ISBN 0-486-61480-8.
  • Coxeter. Chapter 10: Regular honeycombs in hyperbolic space, Summary tables II,III,IV,V // The Beauty of Geometry: Twelve Essays. — Dover Publications, 1999. — С. 212-213. — ISBN 0-486-40919-8.
  • Jeffrey R. Weeks. Chapter 16-17: Geometries on Three-manifolds I,II // The Shape of Space. — 2nd. — 2002. — ISBN 0-8247-0709-5.
  • N.W. Johnson. Uniform Polytopes. — 1991. — (Manuscript).
    • N.W. Johnson. The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs. — University of Toronto, 1966. — (Ph.D. Dissertation).
    • N.W. Johnson. Chapter 13: Hyperbolic Coxeter groups // Geometries and Transformations. — 2015.
Источник — https://ru.wiki.x.io/w/index.php?title=Додекаэдральные_соты_порядка_4&oldid=136328558