Гипоциклоида

Гипоцикло́ида (греч. ὑπό (под, внизу) + греч. κύκλος (круг, окружность)) — плоская кривая, образуемая точкой окружности, катящейся по внутренней стороне другой окружности без скольжения^[1].

История

Схема гипоциклоиды с k=2 (пара Туси), сделанная ат-Туси в XIII-м веке^[2]

Впервые частный случай гипоциклодиды, который сейчас известен как пара Туси, был описан астрономом и математиком Насир ад-Дином ат-Туси в его труде Тахрир аль-Маджисти в 1247 году^[3]^[4]. Позднее немецкий художник и теоретик эпохи Ренессанса Альбрехт Дюрер описал эпитрохоиды в 1525 году, а Рёмер и Бернулли сосредоточились на изучении некоторых специфических гипоциклоид, таких как астроиды, в 1674 и 1691 годах соответственно.

Уравнения

Внутри воздушного шарика катится маленькая батарейка с прикреплённым светодиодом, видна гипоциклоида с k=9

Параметрические уравнения:

{\begin{cases}x=r(k-1)\left(\cos t+{\frac {\cos((k-1)t)}{k-1}}\right)\\y=r(k-1)\left(\sin t-{\frac {\sin((k-1)t)}{k-1}}\right)\end{cases}}

где $\textstyle k={\frac {R}{r}}$ , где $R$ — радиус неподвижной окружности, $r$ — радиус катящейся окружности.

Вывод уравнений

Пусть в начальный момент окружности касаются в точке $A$ , лежащей на оси $OX$ , где точка $O$ — центр большой окружности. Координаты точки $A$ при этом - $(kr,0)$ , где $k={\frac {R}{r}}$ . Рассмотрим, как меняются координаты точки $A$ , привязанной к катящейся окружности ( $A$ переходит в $A'$ ). Пусть маленькая окружность прокатилась так, что её центр перешел из точки $C'$ в точку $C'$ и повернулся относительно точки $O$ на угол $t$ . Во-первых, можно показать, что поворот маленькой окружности относительно своего центра при этом (т.е. угол между $CA$ и $C'A'$ ) равен $t-kt=-(k-1)t$ . Во-вторых, координаты точки $C'$ будут такими: $(cos(t)(k-1)r,sin(t)(k-1)r)$ . Тогда, зная, куда перейдет центр катящейся окружности, и на какой угол она повернулась относительно этого центра, можно записать координаты точки $A'$ :

{\begin{cases}x=cos(t)(k-1)r+cos((k-1)t)r\\y=sin(t)(k-1)r-sin((k-1)t)r\end{cases}}

Модуль величины $k$ определяет форму гипоциклоиды. При $k=2$ гипоциклоида описывается парой Туси — это диаметр неподвижной окружности, при $k=4$ является астроидой. Если модуль $k$ — несократимая дробь вида ${\frac {m}{n}}$ ( $m,n\in \mathbb {N}$ ), то $m$ — это количество каспов данной гипоциклоиды, а $(m-n)$ — количество полных вращений катящейся окружности. Если модуль $k$ иррациональное число, то кривая является незамкнутой и имеет бесконечное множество несовпадающих каспов.