Взаимодействие Юкавы

Слово «Взаимодействие» имеет и другие значения.

В физике элементарных частиц взаимодействие Юкавы, названное в честь Хидэки Юкавы — это взаимодействие между скалярным полем $\phi$ и дираковским полем $\Psi$:

$V\approx g{\bar {\Psi }}\phi \Psi$ (скаляр) или $g{\bar {\Psi }}i\gamma ^{5}\phi \Psi$ (псевдоскаляр).

Взаимодействие Юкавы можно использовать для описания сильных ядерных сил между нуклонами (которые являются фермионами), переносимых пионами (которые являются псевдоскалярными мезонами). Взаимодействие Юкавы также используется в рамках Стандартной модели для описания связи между хиггсовским полем и безмассовыми полями кварков и электронов. Посредством механизма спонтанного нарушения симметрии фермионы обретают массу, пропорциональную среднему ожидаемому значению поля Хиггса.

Действие

Действие для мезонного поля $\phi$, взаимодействующего c дираковским фермионным полем $\psi$:

$S[\phi ,\psi ]=\int d^{d}x\;\left[{\mathcal {L}}_{\mathrm {meson} }(\phi )+{\mathcal {L}}_{\mathrm {Dirac} }(\psi )+{\mathcal {L}}_{\mathrm {Yukawa} }(\phi ,\psi )\right]$

где интегрирование выполняется по d измерениям (обычно 4 для четырёхмерного пространства-времени). Лагранжиан мезонного поля:

${\mathcal {L}}_{\mathrm {meson} }(\phi )={\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }\phi \partial _{\mu }\phi -V(\phi )$.

Здесь $V(\phi )$ — член, отвечающий за самодействие. Для свободного массивного мезона он равен $V(\phi )={\frac {1}{2}}\mu ^{2}\phi ^{2}$ где $\mu$ масса мезона. Для (перенормируемого) самодействующего поля он равен $V(\phi )={\frac {1}{2}}\mu ^{2}\phi ^{2}+\lambda \phi ^{4}$ где λ константа связи. Этот потенциал подробно рассматривается в статье взаимодействие четвёртого порядка.

Свободный лагранжиан Дирака равен

${\mathcal {L}}_{\mathrm {Dirac} }(\psi )={\bar {\psi }}(i\partial \!\!\!/-m)\psi$

где m — положительная, действительная масса фермиона. Лагранжиан взаимодействия Юкавы равен

${\mathcal {L}}_{\mathrm {Yukawa} }(\phi ,\psi )=-g{\bar {\psi }}\phi \psi$

где g — (действительная) константа связи для скалярных мезонов и

${\mathcal {L}}_{\mathrm {Yukawa} }(\phi ,\psi )=-g{\bar {\psi }}i\gamma ^{5}\phi \psi$

для псевдоскалярных мезонов. Учитывая вышесказанное, действие можно записать как

$S[\phi ,\psi ]=\int d^{d}x\left[{\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }\phi \partial _{\mu }\phi -V(\phi )+{\bar {\psi }}(i\partial \!\!\!/-m)\psi -g{\bar {\psi }}\phi \psi \right]$

Классический потенциал

Если два скалярных мезона взаимодействуют посредством взаимодействия Юкавы, то потенциал между двумя частицами будет равен:

$V(r)=-{\frac {g^{2}}{4\pi }}{\frac {1}{r}}e^{-\mu r}$

— потенциал Юкавы (такой же, как и кулоновский потенциал, если не учитывать знак и экспоненциальный фактор). Из-за знака взаимодействие Юкавы может быть только притяжением для всех частиц (электромагнитное взаимодействие является отталкиванием для одинаковых частиц). Это объясняется тем фактом, что частица Юкавы имеет нулевой спин, а чётный спин всегда приводит к потенциалу притяжения. Экспонента дает взаимодействию конечную дальность, так что частицы на больших расстояниях не взаимодействуют.

Спонтанное нарушение симметрии

Пусть потенциал $V(\phi )$ имеет минимум не при $\phi =0$, а при каком-то ненулевом значении $\phi _{0}$. Это возможно, если написать (например) $V(\phi )=\mu ^{2}\phi ^{2}+\lambda \phi ^{4}$ и затем присвоить μ мнимое значение. В этом случае можно сказать, что лагранжиан показывает спонтанное нарушение симметрии. Ненулевое значение φ называется средним ожидаемым значением φ. В Стандартной модели это ненулевое значение ответственно за ненулевые фермионные массы, как показано ниже.

Чтобы показать член, содержащий массу, можно выразить действие через поле ${\tilde {\phi }}=\phi -\phi _{0}$, где $\phi _{0}$ понимается как константа, независимая от положения. Мы видим, что выражение Юкавы имеет член

$g\phi _{0}{\bar {\psi }}\psi$

и поскольку g и $\phi _{0}$ — константы, этот член выглядит точно как массовый член для фермиона с массой $g\phi _{0}$. Это механизм, посредством которого спонтанное нарушение симметрии придает массу фермионам. Поле ${\tilde {\phi }}$ известно как Поле Хиггса.

Форма Майорана

Также возможно получить взаимодействие Юкавы между скаляром и полем Майорана. На самом деле, взаимодействие Юкавы между скаляром и спинором Дирака можно рассматривать как взаимодействие Юкавы между скаляром и двумя спинорами Майорана одной массы. Раскрыв в терминах двух хиральных спиноров Майорана, получим

$S[\phi ,\chi ]=\int d^{d}x\left[{\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }\phi \partial _{\mu }\phi -V(\phi )+\chi ^{\dagger }i{\bar {\sigma }}\cdot \partial \chi +{\frac {i}{2}}(m+g\phi )\chi ^{T}\sigma ^{2}\chi -{\frac {i}{2}}(m+g\phi )^{*}\chi ^{\dagger }\sigma ^{2}\chi ^{*}\right]$

где g — комплексная константа связи, а m — комплексное число.

Правила Фейнмана

Статья потенциал Юкавы содержит простой пример правил Фейнмана и вычисление амплитуды рассеяния по диаграмме Фейнмана, соответствующей взаимодействию Юкавы.

См. также

• Стандартная модель

Ссылки

• Claude Itzykson and Jean-Bernard Zuber, Quantum Field Theory, (1980) McGraw-Hill Book Co. New York ISBN 0-07-032071-3
• James D. Bjorken and Sidney D. Drell, Relativistic Quantum Mechanics (1964) McGraw-Hill Book Co. New York ISBN 0-07-232002-8
• Michael E. Peskin and Daniel V. Schroeder, An Introduction to Quantum Field Theory (1995), Addison-Wesley Publishing Company, ISBN 0-201-50397-2