Биголоморфное отображение

Биголомо́рфное отображе́ние (англ. biholomorphic function) ― в теории функций нескольких комплексных переменных, обобщение однолистного конформного отображения на случай нескольких комплексных переменных.

Биголоморфная отображение обобщает конформное отображение

В математике для функций одной переменной имеются конформные отображения с хорошими свойствами. Но в случае двух переменных и более с конформностью приходится распрощаться. Аналог конформного отображения здесь — биголоморфное отображение.

Имеют место следующие синонимы: голоморфный изоморфизм, голоморфизм, псевдоконформное отображение.

Определение

Биголоморфное отображение — отображение $f$ области, то есть открытого связного подмножества, $D\subset \mathbb {C} ^{n}$, голоморфное в $D$, а также обладающее обратным отображением $g=f^{-1}$, которое также голоморфно в $G=f(D)$.

Предложение. Отображение биголоморфно, если оно голоморфно и взаимно однозначно.

Это предложение иногда используют при определении биголоморфного отображения.

Биголоморфное отображение — голоморфное взаимно однозначное отображение области $D\subset \mathbb {C} ^{n}$ на область $D'\subset \mathbb {C} ^{n}$. Любое биголоморфное отображение невырождено в $D$. Отображение, обратное к биголоморфному отображению, всегда биголоморфно.

Голоморфный изоморфизм — синоним биголоморфного отображения $f\colon D\to G=f(D)$, при этом области $D$ и $G$ биголоморфно эквивалентны.

Голоморфный автоморфизм — голоморфный изоморфизм области $D$ на себя.

Биголоморфность не совпадает с конформностью уже при $n>1$. Так, в двумерном комплексном пространстве $\mathbb {C} ^{2}$ отображение

$(z_{1},\,z_{2})\to (z_{1},\,2z_{2})$

биголоморфно, но не конформно. С другой стороны, на комплексной плоскости $\mathbb {C}$ отображение

$z\to {\frac {z}{|z|^{2}}}$

конформно, но ни голоморфно, ни антиголоморфно.

Группы голоморфных автоморфизмов

Рассмотрим произвольное комплексное пространство $\mathbb {C} ^{n}(z)$. Пусть $D$ — его любая область, то есть открытое связное подмножество. Множество голоморфных автоморфизмов $\varphi \colon D\to D$ области $D$ составляют группу автоморфизмов $\operatorname {Aut} D$: групповая операция — композиция автоморфизмов $\varphi _{2}\circ \varphi _{1}$, единица группы — тождественное отображение $e\colon z\to z$, обратный элемент к $\varphi$ – отображение $z=\varphi ^{-1}(w)$, обратное к $w=\varphi (z)$.

Богатство группы голоморфных автоморфизмов некоторой области влечёт богатство биголоморфных отображений на неё любой другой области. Это утверждение следует из следующей теоремы.

Теорема 1. Произвольное фиксированное биголоморфное отображение (голоморфный изоморфизм) $f\colon D\to G=f(D)$ задаёт групповой изоморфизм $f_{*}\colon \operatorname {Aut} D\to \operatorname {Aut} G$ по следующей формуле:

$f_{*}\colon \varphi \to f\circ \varphi \circ f^{-1},\quad$ $\varphi \in \operatorname {Aut} D.$

Доказательство

При любом голоморфном автоморфизме $\varphi \in \operatorname {Aut} D$ его образ $f_{*}(\varphi )=f\circ \varphi \circ f^{-1}$ есть некоторый голоморфный автоморфизм в $\operatorname {Aut} G$. С другой стороны, пусть $\psi \in \operatorname {Aut} G$ — произвольный голоморфный автоморфизм, тогда его образ $\varphi _{0}=f^{-1}\circ \psi \circ f$ есть некоторый голоморфный автоморфизм $\varphi _{0}\in \operatorname {Aut} D$, причём имеет место следующее равенство:

$\psi =f\circ \varphi _{0}\circ f^{-1}$.

Эта теорема показывает, что условие изоморфности групп $\operatorname {Aut} D$ и $\operatorname {Aut} G$ голоморфных автоморфизмов необходимо для того, чтобы области $D$ и $G$ были биголоморфно эквивалентны. Но это условие недостаточно, о чём говорит пример различных плоских колец

$D=\{1<|z|<r_{1}\}$, $G=\{1<|z|<r_{2}\}$,

группы автоморфизмов которых изоморфны, но сами они конформно не эквивалентны.

Примеры голоморфных автоморфизмов

Рассмотрим вопрос о дробно-линейности голоморфных автоморфизмов. Для комплексной плоскости $\mathbb {C} (z)$ её произвольный голоморфный автоморфизм дробно-линеен, также как и голоморфный автоморфизм круга $\{|z|<R\}$ произвольного радиуса $R$.

Кроме того, для комплексного пространства $\mathbb {C} ^{n}(z)$, $n>1$, дробно-линейны голоморфные автоморфизмы ограниченных областей: шаров $\{|z|<R\}$ и поликругов $\{\|z\|<R\}$ произвольного радиуса $R$.

Но при $n>1$ расширение указанных областей на всё комплексное пространство $\mathbb {C} ^{n}$ невозможно, поскольку не существует перехода к пределу при $R\to \infty$ из-за того, что имеют место нелинейные голоморфные автоморфизмы, например, треугольное преобразование. При этом для компактифицированных (замкнутых) комплексных пространств ${\overline {\mathbb {C} ^{n}}}$ и $\mathbb {C} P^{n}$ голомморфные автоморфизмы опять суть дробно-линейные преобразования.

Треугольное преобразование

Рассмотрим двумерное комплексное пространство $\mathbb {C} ^{2}(z_{1},\,z_{2})$.

Треугольное преобразование — преобразование вида

$f\colon (z_{1},\,z_{2})\to (z_{1}+f(z_{2}),\,z_{2}),$

где $f(z_{2})$ — любая целая функция одного переменного.

Преобразование, обратное к этому треугольному преобразованию, также есть треугольное преобразование:

$f\colon (w_{1},\,w_{2})\to (w_{1}-f(w_{2}),\,w_{2}).$

Эти преобразования голоморфны в $\mathbb {C} ^{2}$, следовательно, указанное треугольное преобразование есть нелинейный голоморфный автоморфизм в $\mathbb {C} ^{2}$.

Треугольные преобразования образуют группу. В отличие от одномерного случая — комплексной плоскости $\mathbb {C}$, группа биголоморфных преобразований $n$-мерного комплексного пространства $\mathbb {C} ^{n}$ бесконечномерна, поскольку бесконечномерна её подгруппа треугольных преобразований (которых не меньше, чем целых функций, которых не меньше, чем многочленов произвольной степени).

Дробно-линейное преобразование

Обзорная статья: Дробно-линейное преобразование

Рассмотрим в двумерном комплексном пространстве $\mathbb {C} ^{2}$ дробно-линейное преобразование следующего вида:

$w_{1}={\frac {a_{11}z_{1}+a_{21}z_{2}+b_{1}}{c_{1}z_{1}+c_{2}z_{2}+d}}$, $w_{2}={\frac {a_{12}z_{1}+a_{22}z_{2}+b_{2}}{c_{1}z_{1}+c_{2}z_{2}+d}}$,

${\begin{vmatrix}a_{11}&a_{21}&b_{1}\\a_{12}&a_{22}&b_{2}\\c_{1}&c_{2}&d\end{vmatrix}}\neq 0$.

Для дальнейшего изложения удобнее вложить комплексное аффинное пространство $\mathbb {C} ^{2}=\{(z_{1},\,z_{2})\}$ в комплексное проективное пространство

$\mathbb {C} P^{2}=\{(\zeta _{0}:\zeta _{1}:\zeta _{2})\}$, $\quad \zeta _{0},\zeta _{1},\zeta _{2}\in \mathbb {C}$,

$|\zeta _{0}|+|\zeta _{1}|+|\zeta _{2}|\neq 0$,

$(\zeta _{0}:\zeta _{1}:\zeta _{2})\sim (\lambda \zeta _{0}:\lambda \zeta _{1}:\lambda \zeta _{2})$, $\quad \lambda \neq 0$.

Пусть теперь $z_{1}={\frac {\zeta _{1}}{\zeta _{0}}}$, $z_{2}={\frac {\zeta _{2}}{\zeta _{0}}}$ — некоторое вложение $\mathbb {C} ^{2}\hookrightarrow \mathbb {C} P^{2}$. Такое вложение отождествляет подмножество $(1:\zeta _{1}:\zeta _{2})\subset \mathbb {C} P^{2}$ с множеством $\mathbb {C} ^{2}$. В алгебраической терминологии это означает, что

$\mathbb {C} P^{2}=(\mathbb {C} ^{3}\setminus \{0\})/{\sim }$

и, кроме того,

$\mathbb {C} P^{2}=\mathbb {C} ^{2}\cup \mathbb {C} P^{1}=\mathbb {C} ^{2}\cup \mathbb {C} ^{1}\cup \{\infty \}$.

Перепишем указанной дробно-линейное преобразование в однородных координатах:

${\frac {\omega _{1}}{\omega _{0}}}={\frac {a_{11}{\frac {\zeta _{1}}{\zeta _{0}}}+a_{21}{\frac {\zeta _{2}}{\zeta _{0}}}+b_{1}}{c_{1}{\frac {\zeta _{1}}{\zeta _{0}}}+c_{2}{\frac {\zeta _{2}}{\zeta _{0}}}+d}}$, ${\frac {\omega _{2}}{\omega _{0}}}={\frac {a_{12}{\frac {\zeta _{1}}{\zeta _{0}}}+a_{22}{\frac {\zeta _{2}}{\zeta _{0}}}+b_{2}}{c_{1}{\frac {\zeta _{1}}{\zeta _{0}}}+c_{2}{\frac {\zeta _{2}}{\zeta _{0}}}+d}}$,

в матричной форме получим:

${\begin{pmatrix}\omega _{0}\\\omega _{1}\\\omega _{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}d&c_{1}&c_{2}\\b_{1}&a_{11}&a_{21}\\b_{2}&a_{12}&a_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\zeta _{0}\\\zeta _{1}\\\zeta _{2}\end{pmatrix}}$,

что означает, что эти дробно-линейные преобразования образуют проективную группу $PGL_{3}(\mathbb {C} )$ комплексной размерности 8 комплексного проективного пространства $\mathbb {C} P^{2}$. Обобщая, можно сказать, что произвольное преобразование из $PGL_{n}$ определяется $(n+1)$ точкой. Индекс $n$ у группы $PGL$ — это размерность объемлющего комплексного пространства, а соответствующее проективное пространство размерности на единицу меньше.

В качестве примера построим дробно-линейное преобразование $\mathbb {C} ^{2}\setminus \mathbb {C} \to \mathbb {C} ^{2}\setminus \mathbb {C}$. Возьмём преобразование

$w_{1}={\frac {2z_{1}}{z_{2}+i}}$, $\quad w_{2}={\frac {z_{2}-i}{z_{2}+i}}$,

обратное ему будет

$z_{1}=-i{\frac {w_{1}}{w_{2}-1}}$, $\quad z_{2}=-i{\frac {w_{2}+1}{w_{2}-1}}$,

причём непосредственно выясняются следующие равнозначности:

$|w_{2}|<1\Leftrightarrow \operatorname {Im} z_{2}>0$,

$|w_{1}|^{2}+|w_{2}|^{2}<1\Leftrightarrow \operatorname {Im} z_{2}>|z|^{2}$,

что означает, что построено следующее преобразование:

$\mathbb {C} ^{2}\setminus \{z_{2}+i=0\}\leftrightarrow \mathbb {C} ^{2}\setminus \{z_{2}-1=0\}$.

Источники

• Белошапка В. К. Курс лекций по комплексному анализу. М., 2005. 31 с., ил.
• Соломенцев Е. Д. Биголоморфное отображение // Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 1 А—Г. М.: «Советская Энциклопедия», 1977. 1152 стб., ил. Стб. 471.
• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ, ч. I, изд. 2-е, перераб. и доп. М.: «Наука», 1976. 320 с.: ил.
• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ, ч. II, изд. 2-е, перераб. и доп. М.: «Наука», 1976. 400 с.: ил.