Алгоритм Берлекэмпа

Не следует путать с алгоритмом Берлекэмпа — Мэсси — алгоритмом, предназначенным для нахождения рекуррентных зависимостей в последовательностях.

Алгоритм Берлекэмпа — алгоритм, предназначенный для факторизации унитарных многочленов над конечным полем. Разработан Элвином Берлекэмпом в 1967 году. Может использоваться также для проверки неприводимости многочленов над конечными полями. Основная идея алгоритма заключается в возможности представления исходного многочлена в виде произведения наибольших общих делителей самого многочлена и некоторых многочленов, которые с точностью до свободного члена являются $f$-разлагающими.

Алгоритм Берлекэмпа имеет большую вычислительную сложность, поэтому был разработан ряд дополнительных методов, позволяющих сократить количество необходимых математических операций. Однако, несмотря на свою сложность, алгоритм Берлекэмпа был реализован в системах компьютерной алгебры. Алгоритм нашёл широкое применение в теории кодирования и в изучении линейных рекуррентных соотношений в конечных полях. Имеется много вычислительных задач в алгебре и в теории чисел, которые так или иначе связаны с разложением многочленов над конечными полями, например, разложение на множители многочленов над кольцом целых чисел, отыскание разложения простого рационального числа в поле алгебраических чисел, вычисление группы Галуа некоторого уравнения над полем рациональных чисел и построение расширений полей.

История создания

Американский математик, профессор Калифорнийского университета Берлекэмп занимался изучением циклических кодов обнаружения и исправления ошибок, в том числе кода Боуза — Чоудхури — Хоквингема, свойства которых зависят от делителей порождающих многочленов. Технические достижения Берлекэмпа в области декодирования этих кодов сделали их более привлекательными с практической точки зрения.

Алгоритм был впервые изложен в статье «Factoring Polynomials Over Finite Fields» и позже воспроизведён в книге «Algebraic Coding Theory». В этой работе 1967 года Берлекэмп пишет, что проблема факторизации возникает в трудах Голомба. Однако, возможность использования матрицы $B$ для определения числа нормированных сомножителей многочлена $f(x)$ была впервые замечена в статье Карела Петра. В статье Батлера было установлено, что ранг матрицы $B-E$ равен $n-k$, другое доказательство этого факта было дано Шварцем.

Алгоритм Берлекэмпа упоминался во множестве работ и являлся основным алгоритмом решения проблемы факторизации до появления в 1981 году алгоритма Кантора — Цассенхауза. Была разработана техника позволяющая разложить многочлен на множители за $O(n^{(\omega +1)/2+o(1)}+n^{1+o(1)}\log q),$ где $\omega$ — показатель в оценке сложности перемножения квадратных матриц.

Постановка и определения

Рассматривается задача факторизации многочлена $f(x)$ степени $n$ ($n\geq 2$) над конечным полем $\mathbb {F} _{q}$ ($q=p^{m}$, $p$ — простое число) на различные неприводимые унитарные многочлены $f(x)=f_{1}(x)^{e_{1}}\cdots f_{k}(x)^{e_{k}}$.

Для использования в алгоритме строится матрица $B=(b_{ij})_{i=0,\;j=0}^{n-1,\;n-1}$ согласно следующим условиям:

${x^{iq}}\equiv \sum _{j=0}^{n-1}b_{ij}x^{j}{\pmod {f(x)}}\quad i={\overline {0,n-1}}$.

Многочлен $h(x)\in \mathbb {F} _{q}[x]$ такой, что $1\leqslant \deg {h(x)}<n,\quad {h(x)}^{q}\equiv h(x){\pmod {f(x)}}$, называется $f$-разлагающим многочленом.

Основной случай

Блок-схема для алгоритма Берлекэмпа — основной случай

Алгоритм факторизации над конечным полем $\mathbb {F} _{q}$ многочлена вида:

$f(x)=f_{1}(x)\cdots f_{k}(x)$

состоит из следующих шагов:

1. Вычисление матрицы $B$.
2. Поиск базиса ${\overline {e_{1}}},\dots ,{\overline {e_{k}}}$ подпространства решений системы линейных уравнений:

   $(B-E_{n})^{T}\mathbf {x} =\mathbf {0}$,

   при этом удаётся выбрать вектор ${\overline {e_{1}}}=(1,\;0,\;....\;,\;0)$, так как он всегда будет присутствовать в базисе пространства решений ввиду того, что $x^{iq}\equiv 1{\pmod {f(x)}}$ при $i=0$.

3. Найденное число $k$ есть число неприводимых делителей $f(x)$.
   • Если $k=1$, то многочлен является неприводимым.
   • Если $k>1$, то векторы ${\overline {e_{l}}}$ имеют вид $(h_{l,\;0},\dots ,h_{l,\;n-1})$. По этим числам строятся $f$-разлагающие многочлены:

     $h_{l}(x)=\sum _{i=0}^{n-1}h_{l,\;i}\;x^{i},\quad l={\overline {2,\;k}},\quad h_{1}(x)=1.$.

4. Поиск разложения:

   $f(x)=\prod _{c\in \mathbb {F} _{q},}\gcd(f(x),h_{2}(x)-c)$

   в виде:

   $f(x)=\prod _{m}g_{m,\;2}(x)$,

   где $g_{m,\;s}(x),\quad s={\overline {2,k}}$ в общем случае не являются неприводимыми. Функции $g_{m,\;s}(x)$ факторизуются таким же способом, то есть:

   $g_{m,\;s}(x)=\prod _{c\in \mathbb {F} _{q},}\gcd(g_{m,\;s}(x),h_{s+1}(x)-c),\quad s={\overline {2,k-1}}$.

Общий случай

Блок-схема для алгоритма Берлекэмпа — сведение к основному случаю

Задача факторизации произвольного унитарного многочлена сводится к рассмотрению основного случая. Для этого вычисляется многочлен

$d(x)=\gcd(f(x),\;f^{'}(x))$

с применением алгоритма Евклида.

• Если $d(x)=1,$ то многочлен не содержит кратных корней, так как кратный корень одновременно является и корнем производной.
• Если $d(x)=f(x),$ то $f^{'}(x)=0,$ и значит $f(x)=g(x)^{p},\quad g(x)\in \mathbb {F} _{q}[x].$ Если $g^{'}(x)=0,$ то для $g(x)$ необходимо проделать описанную процедуру до тех пор пока не будет получено разложение $f(x)=h(x)^{p^{s}},h{'}(x)\neq 0.$ Многочлен $h(x)$ удовлетворяет требованиям основного случая.
• Иначе, многочлен $d(x)$ является нетривиальным делителем многочлена $f(x)$. В свою очередь, многочлен ${\frac {f(x)}{d(x)}}$ не имеет кратных неприводимых сомножителей. Если $d(x)$ содержит кратные сомножители, то к нему также применяется описанная процедура. Зная эти разложения, легко получить разложение $f(x)$.

Таким образом, задача разложения произвольного унитарного многочлена над конечным полем $\mathbb {F} _{q}[x]$ сводится к разложению на множители конечного числа многочленов, которые не имеют кратных неприводимых сомножителей, то есть к основному случаю.

Обоснование

Пусть:

$f(x)=f_{1}(x)^{e_{1}}\cdots f_{k}(x)^{e_{k}}$, где $\quad e_{i}=1,\quad i={\overline {1,k}}$.

Согласно китайской теореме об остатках существует единственный многочлен для любого набора $(c_{1},\;...,\;c_{k})$ элементов поля $\mathbb {F} _{q}$:

$h(x)\in \mathbb {F} _{q}[x],$

такой что:

$h(x)\equiv c_{i}{\pmod {f_{i}(x)}},\;i={\overline {1,\;k}},\quad \deg {h(x)}<\deg {f(x)}$.

Многочлен $h(x)$ удовлетворяет условию:

${h(x)}\equiv c_{i}\equiv c_{i}^{q}\equiv h(x)^{q}{\pmod {f_{i}(x)}},\quad i={\overline {1,\;k}}$,

и поэтому:

$h(x)^{q}\equiv h(x){\pmod {f(x)}},\quad \deg {h(x)}<deg{f(x)}$.

Из условия:

$h(x)^{q}-h(x)=\prod _{c\in \mathbb {F} _{q}}(h(x)-c)\equiv 0{\pmod {f(x)}}$,

и из взаимной простоты сомножителей в правой части следует, что каждый неприводимый делитель многочлена $f(x)$ делит один, и только один из многочленов $h(x)-c$. Таким образом, доказана справедливость и единственность разложения:

$f(x)=\prod _{c\in \mathbb {F} _{q}}\gcd(f(x),h(x)-c).$

Для нахождения многочлена:

$h(x)=a_{0}+a_{1}x^{1}+\dots +a_{n-1}x^{n-1}\in \mathbb {F} _{q}$

рассмотрим сравнение:

$h(x)^{q}\equiv h(x){\pmod {f(x)}}$,

которое равносильно условию:

$\sum _{i=0}^{n-1}a_{i}x^{iq}\equiv \sum _{i=0}^{n-1}a_{i}x^{i}{\pmod {f(x)}}$.

По определению матрицы $B$ получим:

$\sum _{i=0}^{n-1}a_{i}\sum _{j=0}^{n-1}b_{ij}x^{j}=\sum _{i=0}^{n-1}a_{i}x^{i}$,

поэтому:

$\sum _{i=0}^{n-1}a_{i}b_{ij}=a_{j},\quad j={\overline {0,\;n-1}}$.

Полученная система уравнений определяет коэффициенты $f$-разлагающих многочленов и может быть записана в виде:

$\quad (a_{0},\;a_{1},...,a_{n-1})B=(a_{0},\;a_{1},\;...,a_{n-1})$

или:

$\quad (a_{0},\;a_{1},...,a_{n-1})(B-E_{n})=\mathbf {0}$.

Сложность алгоритма

Сложность алгоритма составляет $O(n^{3}+qkn)$ математических операций. Алгоритм будет эффективен только для небольших полей. Это связано с необходимостью перебора всех $c\in \mathbb {F} _{q}$.

Усовершенствования

• В случае простого поля, если значение $p$ велико, то перебор значений $c\in {\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$ займёт много времени. Однако, возможно определить множество $M$, состоящее из $c$, для которых $\gcd(f(x),h(x)-c)$ нетривиален. Для этого необходимо найти корни результанта $R(c)$, которые и будут составлять множество $M$.
• Ещё один метод разложения унитарного многочлена $f(x)\in GF(q)[x]$, не имеющего кратных неприводимых множителей, основан на приведении некоторой эффективно вычислимой с помощью алгоритма Берлекэмпа матрицы A к диагональному виду. Однако сам процесс диагонализации довольно сложен.
• В работе Калтофена и Лобо была предложена вероятностная версия алгоритма Берлекэмпа, позволяющая разложить на множители многочлен $f(x)\in GF(q)[x]$ степени $n$ за $O((n\log n+\log q)\cdot n(\log n)\log(\log n))$ арифметических операций. Алгоритм Калтофена — Лобо был реализован на компьютере, и оказался эффективным для многочленов высокой степени, например, для многочленов степени 10001 над полем $\mathbb {Z} /127\mathbb {Z}$ он работает около 102,5 часов на компьютере Sun-4.

Применение

Алгоритмы факторизации многочленов важны для теории кодирования и для изучения линейных рекуррентных соотношений в конечных полях. Также алгоритм Берлекэмпа используется для вычисления группы Галуа уравнения над полем рациональных чисел и построения решений полей, разложения многочленов над кольцом целых чисел, для отыскания разложения простого рационального числа в поле алгебраических чисел, и для некоторых других вычислительных задач. Алгоритм исчисления порядка использует алгоритмы факторизации многочленов для решения задачи отыскания дискретного логарифма, на вычислительной сложности которой построена схема Эль-Гамаля.

Реализации в системах компьютерной алгебры

В системе компьютерной алгебры PARI/GP алгоритм Берлекэмпа может быть использован посредством команды factormod.

Литература

• Berlekamp, Elwyn R. Factoring Polynomials Over Finite Fields (англ.) // Bell System Technical Journal. — 1967. — Vol. 46. — P. 1853—1859. BSTJ Later republished in: Berlekamp, Elwyn R. Algebraic Coding Theory (англ.). — McGraw-Hill Education, 1968. — ISBN 0-89412-063-8.
• Василенко О. Н. Теоретико-числовые алгоритмы в криптографии. — М.: МЦНМО, 2003. — 328 с. — ISBN 5-94057-103-4.
• Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля = Finite Fields / Под ред. В. И. Нечаева. — 1-е изд. — М.: Мир, 1988. — Т. 1. — 430 с. — ISBN 5-03-000065-8.
• Ван дер Варден Б.Л. Алгебра. — M.: Наука, 1976. — 646 с. Архивная копия от 2 ноября 2013 на Wayback Machine