Поле разложения

По́ле разложе́ния многочлена p над полем $K$ — наименьшее расширение $L$ поля $K,$ над которым $p$ разлагается в произведение линейных множителей:

$p(x)=a(x-x_{1})(x-x_{2})...(x-x_{n}),$ где $x_{1},\dots ,x_{n}\in L\supseteq K.$

При этом $L=K(x_{1},\dots ,x_{n}),$ то есть это максимально возможное поле, все элементы где могут быть образованы сложением и умножением элементов поля $K$ и чисел $x_{1},\dots ,x_{n}$ как друг с другом, так и между собой. Поэтому о поле $L$ разложения говорят как о расширении, полученном присоединением к $K$ всех корней данного многочлена.

Аналогично вводится понятие поля разложения семейства многочленов $p_{i}(x),i\in I$ — такого расширения L, что каждый p_i разлагается в L[x] на линейные множители и L порождается над K всеми корнями p_i. Поле разложения конечного множества многочленов p₁, p₂, …, p_n, будет, очевидно, полем разложения их произведения p=p₁p₂…p_n.

Поля разложения являются нормальными расширениями. Более того, каждое нормальное расширение можно представить как поле разложения некоторого семейства многочленов.

Свойства

• Поле разложения конечного семейства многочленов является конечным алгебраическим расширением поля $K$.
• Поле разложения многочлена существует для любого семейства многочлена p_i и определено однозначно с точностью до изоморфизма, тождественного на K.

Примеры

• Если степень многочлена $p$ не превосходит $1$, то $L=K$.
• Поле комплексных чисел $\mathbb {C}$ служит полем разложения многочлена $x^{2}+1$ над полем $\mathbb {R}$ вещественных чисел.
• Любое конечное поле $GF(q)$, где $q=p^{n}$, есть поле разложения многочлена $x^{q}-x$ над простым подполем $GF(p)\subset GF(q)$.

Литература

• Ван дер Варден Б.Л. Алгебра -М:, Наука, 1975
• Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра т.1 -М:, ИЛ, 1963
• Ленг С. Алгебра -М:, Мир, 1967