Неприводимый многочлен

Неприводимый многочлен — нетривиальный (то есть не константа) многочлен, неразложимый в произведение нетривиальных многочленов. Неприводимые многочлены являются неприводимыми элементами кольца многочленов. Нетривиальные многочлены, отличные от неприводимых, называются приводимыми.

Свойство неприводимости зависит от кольца (поля) коэффициентов (см. раздел примеров).

Определение

Многочлен $p(x_{1},x_{2},..,x_{n})$ от $n$ переменных над полем $k$ называется неприводимым над полем $k$, если он является простым элементом кольца $k[x_{1},x_{2},..,x_{n}]$, то есть не является константой и не представим в виде произведения $p=qr$, где $q$ и $r$ ― многочлены с коэффициентами из $k$, отличные от констант.

Аналогично определяется многочлен, неприводимый над целостным кольцом.

Многочлен называется абсолютно неприводимым, если он неприводим над алгебраическим замыканием поля коэффициентов. Абсолютно неприводимые многочлены одной переменной ― это многочлены 1-й степени и только они. В случае нескольких переменных существуют абсолютно неприводимые многочлены сколь угодно высокой степени — например, любой многочлен вида

$p(x_{1},x_{2},..,x_{n-1})+x_{n}$

абсолютно неприводим.

Корни неприводимого многочлена, рассматриваемого для возможности говорить о корнях над расширением базового кольца, называются сопряжёнными. Например, сопряжёнными являются комплексные корни многочлена, неприводимого над полем действительных чисел.

Свойства

• Кольцо многочленов $k[x_{1},x_{2}..,x_{n}]$ факториально: любой многочлен разлагается в произведение неприводимых многочленов, причём это разложение определено однозначно с точностью до постоянных множителей и порядка сомножителей.
• Над полем вещественных чисел любой неприводимый многочлен одной переменной имеет степень 1 или 2, причём многочлен 2-й степени неприводим тогда и только тогда, когда он имеет отрицательный дискриминант. Действительно, любой вещественный многочлен, не имеющий действительных корней (что возможно только для чётных степеней) имеет хотя бы один чисто комплексный корень $z$, а тогда корнем данного многочлена является и сопряжённый к этому корню элемент ${\overline {z}}\neq z$; следовательно, этот многочлен делится на вещественный многочлен $(x-z)(x-{\overline {z}})$, что для многочлена степени 3 или выше означает приводимость.
• Над любым полем алгебраических чисел существуют неприводимый многочлен любой наперёд заданной степени; например, многочлен $x^{n}+px+p$, где $n>1$ и $p$ ― некоторое простое число, неприводим в силу критерия Эйзенштейна.
• Неприводимый многочлен над полем характеристики 0 не может иметь кратных корней ни в этом поле, ни в любом его расширении.
• Если $k=F_{q}$ — конечное поле из $q$ элементов, а $n$ — натуральное число, то существует хотя бы один неприводимый многочлен степени n из $k[x]$.
• Предположим, что $A$ ― целозамкнутое кольцо с полем частных $k$ (например $A=\mathbb {Z}$ и $k=\mathbb {Q}$) и $p\in A[x]$ ― многочлен одной переменной со старшим коэффициентом 1, тогда $p=qr$ в $k[x]$, причём $q$ и $r$ имеют старший коэффициент 1, то $q,r\in A[x]$.
• Редукционный критерий неприводимости. Пусть задан гомоморфизм областей целостности $\sigma :A\to B$. Если степень многочлена $\sigma (p)$ совпадает со степенью многочлена $p$ и $\sigma (p)$ неприводим над полем частных области $B$, то не существует разложения $p=qr$, где $p,r\in A[x]$ и отличны от константы.
  • Например, многочлен $p$ со старшим коэффициентом $1$ прост в $\mathbb {Z} [x]$ (и, следовательно, неприводим в $\mathbb {Q} [x]$), если прост многочлен $\sigma (p)$, полученный из $p$ редукцией коэффициентов по модулю простого числа.

Примеры

Следующие пять многочленов демонстрируют некоторые элементарные свойства неприводимых многочленов:

$p_{1}(x)=x^{2}+4x+4\,={(x+2)^{2}}$,

$p_{2}(x)=x^{2}-4\,={(x-2)(x+2)}$,

$p_{3}(x)=x^{2}-4/9\,=(x-2/3)(x+2/3)$,

$p_{4}(x)=x^{2}-2\,=(x-{\sqrt {2}})(x+{\sqrt {2}})$,

$p_{5}(x)=x^{2}+1\,={(x-i)(x+i)}$, где $i^{2}$ $={-1}$.

Над кольцом $\mathbb {Z}$ целых чисел первые два многочлена — приводимые, последние два — неприводимые. (Третий вообще не является многочленом над целыми числами).

Над полем $\mathbb {Q}$ рациональных чисел первые три многочлена являются приводимыми, два других — неприводимыми.

Над полем $\mathbb {R}$ действительных чисел первые четыре многочлена — приводимые, но $p_{5}(x)$ является неприводимым. В поле действительных чисел неприводимыми являются линейные многочлены и квадратичные многочлены без действительных корней. Например, разложение многочлена $x^{4}+1$ в поле действительных чисел имеет вид $(x^{2}+{\sqrt {2}}x+1)(x^{2}-{\sqrt {2}}x+1)$. Оба множителя в данном разложении являются неприводимыми многочленами.

Над полем $\mathbb {C}$ комплексных чисел все пять многочленов — приводимые. Фактически каждый отличный от константы многочлен $p(x)$ над $\mathbb {C}$ может быть разложен на множители вида:

$p(x)=a(x-z_{1})\cdots (x-z_{n})$,

где $\ n$ — степень многочлена, $\ a$ — старший коэффициент, $\ z_{1},\ldots ,z_{n}$ — корни $\ p(x)$. Поэтому единственными неприводимыми многочленами над $\mathbb {C}$ являются линейные многочлены (основная теорема алгебры).

Конечные поля

Многочлены с целочисленными коэффициентами, которые являются неприводимыми над полем $\mathbb {Q}$, могут быть приводимыми над конечным полем. Например, многочлен $x^{2}+1$ является неприводимым над $\mathbb {Q}$, но над полем $\mathbb {F} _{2}$ из двух элементов мы имеем:

$(x^{2}+1)=(x+1)^{2}.$

Литература

• Ван-дер-Варден Б. Л. Алгебра. — М.: Мир, 1976. — 648 с.
• Ленг С. Алгебра. — М.: Мир, 1968.
• Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра. — М.: ИЛ, 1963.