Аксиомы Стинрода — Эйленберга

Аксиомы Стинрода — Эйленберга — набор основных свойств теорий гомологий, выделенный Эйленбергом и Стинродом.

Этот подход позволяет доказывать результаты, такие как последовательность Майера — Вьеториса, сразу для всех теорий гомологий.

Аксиомы

Пусть $H_{n}$ — последовательность функторов из категории пар $(X,A)$ топологических пространств в категорию коммутативных групп, снабжённая естественным преобразованием $\partial \colon H_{i}(X,A)\to H_{i-1}(A)$, называемым границей. (Здесь $H_{i-1}(A)$ является сокращением для $H_{i-1}(A,\emptyset )$.)

1. Гомотопическая эквивалентность индуцирует те же гомологии. То есть, если $g\colon (X,A)\rightarrow (Y,B)$ гомотопно $h\colon (X,A)\rightarrow (Y,B)$, то их индуцированные отображения одинаковы.
2.   Предположим, $(X,A)$ есть пара и $U$ — подмножество $X$, такое, что его замыкание содержится во внутренности $A$. Тогда включение $i\colon (X-U,A-U)\to (X,A)$ индуцирует изоморфизм в гомологии.
3. Пусть $P$ есть одноточечное топологическое пространство, тогда $H_{n}(P)=0$ для всех $n\neq 0$.
4. Если $X=\coprod _{\alpha }{X_{\alpha }}$, дизъюнктное объединение семейства топологических пространств $X_{\alpha }$, то $H_{n}(X)\cong \bigoplus _{\alpha }H_{n}(X_{\alpha })$.
5. Каждая пара $(X,A)$ индуцирует длинную точную последовательность гомологий по включениям $i\colon A\to X$ и $j\colon X\to (X,A)$:

   $\cdots \longrightarrow H_{n}(A)\,{\stackrel {i_{*}}{\longrightarrow }}\,H_{n}(X)\,{\stackrel {j_{*}}{\longrightarrow }}\,H_{n}(X,A)\,{\stackrel {\partial }{\longrightarrow }}\,H_{n-1}(A)\longrightarrow \cdots .$

Литература

• Ч. Коснёвски Начальный курс алгебраической топологии