F₄ (математика)
В математике F4 — название одной из пяти (компактных или комплексных) особых простых групп Ли, а также её алгебры Ли . F4 имеет ранг 4 и размерность 52. Группа F4 односвязна, а её группа внешних автоморфизмов тривиальна. Простейшее точное линейное представление группы F4, а также её алгебры Ли, 26-мерно и неприводимо.
Компактная вещественная форма (комплексной) группы F4 является группой изометрий 16-мерного риманова многообразия, известного как «октонионная проективная плоскость», OP2. Это может быть показано с помощью общего приёма, использующего конструкцию, известную как магический квадрат, разработанную Г. Фрейденталем и Ж. Титсом.
Есть 3 вещественные группы Ли с алгеброй : компактная, разделённая и третья.
Алгебра Ли F4 может быть получена путём добавления к 36-мерной алгебре Ли 16 генераторов, преобразующихся как спиноры, аналогично тому, как это делается в построении E8.
Алгебра
правитьКорневые векторы F4
править- ,
- ,
- ,
- ,
- ,
- ,
- ,
- ,
- ,
- ,
- ,
и простые положительные корневые векторы
- ,
- ,
- ,
- .
Для данной группы это — группа симметрии гипероктаэдра.
Решётка симметрии F4
править4-мерная объёмноцентрированная кубическая решётка имеет F4 как точечную группу симметрии. Это объединение двух гиперкубических решёток, точки каждой из которых лежат в центрах гиперкубов другой, образует кольцо, называемое кольцом кватернионов Гурвица. 24 кватерниона Гурвица с нормой 1 образуют гипероктаэдр.
Источники
править- John Baez, The Octonions, Section 4.2: F4, Bull. Amer. Math. Soc. 39 (2002), 145—205. On-line HTML вариант (англ.) (Дата обращения: 26 декабря 2009)