Элемент длины

Элеме́нт длины́ (англ. line element; length element) — понятие математического анализа и дифференциальной геометрии, точнее — интегрального исчисления, элемент интегрирования, главная линейная часть приращения длины кривой, то есть малый отрезок касательной к кривой в рассматриваемой точке. Синонимы: дифференциал длины дуги, дифференциал дуги, элемент дуги, линейный элемент.

Элемент длины $dl$

Обозначается $dl$ или $ds$. При вычислении циркуляции векторного поля представляется в векторной форме как

$d{\vec {l}}=dl\cdot {\vec {e}}_{t}$,

где ${\vec {e}}_{t}$ — единичный вектор вдоль касательной.

Математическая запись элемента длины зависит от типа системы координат и вида рассматриваемой кривой. В случае декартовой системы элемент длины плоской кривой может выражаться формулой

$dl={\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}={\sqrt {1+y'^{2}}}dx$.

Её правомерность видна из геометрических рассуждений. Пусть аргумент есть абсцисса $x$. Элемент длины $dl$ отвечает длине части $MP$ касательной к дуге от точки касания $M$ до пересечения $P$ с приращённой ординатой (см. рис.). Дифференциал $dx$ равен $MQ$, дифференциал $dy=QP$, и по теореме Пифагора для $dl=MP$ получается выписанное выражение. По сути, формула приравнивает приращение касательной к дуге $dl$ к главной части приращения длины дуги $\Delta l={\stackrel {\smile }{MN}}$.

Квадрат элемента длины, выраженный через координаты пространства, называется метрической формой пространства.

Длина $L$ плоской или пространственной дуги ${\stackrel {\smile }{AB}}$ в любом пространстве находится как криволинейный интеграл первого рода:

$L=\int _{(A)}^{(B)}1\,dl$.

Элемент длины используется при вычислении криволинейных интегралов. Определённым интегралом с интегральным элементом длины можно выразить целый ряд геометрических и физических величин, например, длину кривой (с подынтегральной функцией 1), площадь или объём (со скалярной подынтегральной функцией), циркуляцию физического вектора по некоему контуру (с векторной подынтегральной функцией).

Аналоги элемента длины больших размерностей — элемент площади и элемент объёма, которые принципиально отличаются от элемента длины тем, что не являются приращениями соответствующих величин — площади и объёма.

Элемент длины в декартовых координатах

Двумерный (плоский) случай

Рассмотрим на плоскости параметрически заданную кривую $L$, определяемую в декартовой системе координат параметрическими уравнениями

$x=\varphi (t),\quad$ $y=\psi (t),$

причём у функций $\varphi (t)$ и $\psi (t)$ производные непрерывны на отрезке $[\alpha ,\beta ]$. В силу формулы вычисления длины отрезка кривой длина $l(t)$ переменной дуги задаётся следующей формулой:

$l(t)=\int _{\alpha }^{t}{\sqrt {\varphi '^{2}(\tau )+\psi '^{2}(\tau )}}d\tau .$

В этой формуле подынтегральная функция непрерывна, следовательно,

$l'(t)={\sqrt {\varphi '^{2}(t)+\psi '^{2}(t)}}$

по свойству интеграла с верхним переменным пределом. Обе части этого равенства возведём в квадрат и потом умножим на $dt^{2}$, получим:

$(l'(t)dt)^{2}=(\varphi '(t)dt)^{2}+(\psi '(t)dt)^{2},$

откуда по причине того, что

$l'(t)dt=dl,\quad$ $\varphi '(t)dt=dx,\quad$ $\psi '(t)dt=dy,$

окончательно получаем квадрат элемента длины:

$dl^{2}=dx^{2}+dy^{2}.$

Если в качестве параметра уравнений кривой взять длину $l$ переменной дуги (естественная параметризация), то есть положить

$x=g(l),\quad$ $y=h(l),$

то тогда имеет место следующее равенство:

$\left({\frac {dx}{dl}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dl}}\right)^{2}=1.$

Общий трёхмерный случай

Обобщая полученные результаты на трёхмерное пространство, получаем, что для параметрически заданной пространственной кривой $L$, определяемой в декартовой системе координат параметрическими уравнениями

$x=\varphi (t),\quad$ $y=\psi (t),\quad$ $z=\chi (t),$

причём у функций $\varphi (t)$, $\psi (t)$ и $\chi (t)$ производные непрерывны на отрезке $[\alpha ,\beta ]$, верна следующая формула для квадрата элемента длины:

$dl^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}.$

Из этой формулы следует, что если в качестве параметра уравнений пространственной кривой взять длину $l$ переменной дуги, то есть положить

$x=g(l),\quad$ $y=h(l),\quad$ $z=k(l),$

то тогда имеет место следующее равенство:

$\left({\frac {dx}{dl}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dl}}\right)^{2}+\left({\frac {dz}{dl}}\right)^{2}=1.$

Элемент длины в криволинейных координатах

Плоский случай, полярные координаты

Обзорная статья: Полярная система координат

Элемент длины в полярной системе координат определяется следующей формулой:

$dl={\sqrt {d\rho ^{2}+\rho ^{2}d\varphi ^{2}}}.$

Элемент длины $dl$ в полярных координатах

Вычислим элемент длины на плоскости в полярной системе координат. Пусть даны некоторая дуга и произвольная точка $M$ на ней (см. рис.). Проведём координатную окружность (с центром в начале координат $O$) радиуса $OM=\rho$. Рассмотрим криволинейный треугольник $MKN$, образованный дугой окружности ${\stackrel {\smile }{MK}}=\rho \Delta \varphi$, отрезком $KN=\Delta \rho$ и частью ${\stackrel {\smile }{MN}}=\Delta l$ исходной дуги, причём у этого треугольника угол при вершине $K$ прямой. Теорема Пифагора для такого криволинейного треугольника в точности не соблюдается, но когда дуга ${\stackrel {\smile }{MN}}$ бесконечно мала, сумма квадратов «катетов» эквивалентна квадрату «гипотенузы»:

${\stackrel {\smile }{MN}}\approx {\sqrt {KN^{2}+{\stackrel {\smile }{KM}}\,\!^{2}}}$,

то есть в других обозначениях

$\Delta l\approx {\sqrt {\Delta \rho ^{2}+\rho ^{2}\Delta \varphi ^{2}}}\approx {\sqrt {d\rho ^{2}+\rho ^{2}d\varphi ^{2}}}$,

а эта формула и представляет элемент длины дуги $l$ в полярной системе координат.

Дифференциал дуги в полярной системе координат можно вычислить, исходя из элемента длины в декартовой системе координат

$dl={\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}$,

используя формулы, выражающие декартовы координаты через полярные:

$x=\rho \cos \varphi ,\quad$ $y=\rho \sin \varphi .$

Действительно, вычислим дифференциалы координат

$dx=d(\rho \cos \varphi )=\cos \varphi \,d\rho -\rho \sin \varphi \,d\varphi$,

$dy=d(\rho \sin \varphi )=\sin \varphi \,d\rho +\rho \cos \varphi \,d\varphi$

и подставим эти равенства в элемент длины в декартовых координатах, получим:

$dl={\sqrt {(\cos \varphi \,d\rho -\rho \sin \varphi \,d\varphi )^{2}+(\sin \varphi \,d\rho +\rho \cos \varphi \,d\varphi )^{2}}}=$

$={\sqrt {d\rho ^{2}+\rho ^{2}d\varphi ^{2}}}$.

Цилиндрическая и сферическая системы

Запись трёхмерного элемента длины в цилиндрических и сферических координатах представлена в таблице. Цилиндрическая запись при $z=0$ и сферическая при $\theta =\pi /2$ превращаются в выражение для случая полярной системы.

Система координат	Пере­менные	Квадрат элемента длины	Коэффициенты Ламе
Декартова	$x,\,y,\,z$	$dl^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}$	$L_{x}=L_{y}=L_{z}=1$
Цилиндрическая	$\rho ,\,\varphi ,\,z$	$dl^{2}=d\rho ^{2}+\rho ^{2}d\varphi ^{2}+dz^{2}$	$L_{\rho }=L_{z}=1,$ $L_{\varphi }=\rho$
Сферическая	$\rho ,\,\theta ,\,\varphi$	$dl^{2}=d\rho ^{2}+\rho ^{2}d\theta ^{2}+\rho ^{2}\sin ^{2}\theta \ d\varphi ^{2}$	$L_{\rho }=1,$ $L_{\theta }=\rho ,$ $L_{\varphi }=\rho \sin \theta$

Некоторые несложные примеры расчёта

Для кривой $y=x^{2}$ имеем

$dl={\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}={\sqrt {1+\left|dy/dx\right|^{2}}}\,dx={\sqrt {1+4x^{2}}}\,dx={\sqrt {1+4y}}\,dx$,

${\vec {e}}_{l}={\frac {dx}{dl}}\,{\vec {e}}_{x}+{\frac {dy}{dl}}\,{\vec {e}}_{y}={\frac {dx}{{\sqrt {1+4x^{2}}}\,dx}}\,{\vec {e}}_{x}+{\frac {dy}{{\sqrt {1+4y}}\,dx}}\,{\vec {e}}_{y}={\frac {{\vec {e}}_{x}}{\sqrt {1+4x^{2}}}}+{\frac {2x\,{\vec {e}}_{y}}{\sqrt {1+4y}}}$.

Ещё пример: для исходящего из начала координат луча ($\theta =\theta _{0}=$ const, $\varphi =\varphi _{0}=$ const) будет

$dl=d\rho ={\sqrt {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}}=|\cos \theta _{0}|^{-1}\,dz$,

${\vec {e}}_{l}={\vec {e}}_{\rho }=\sin \theta _{0}\cos \varphi _{0}\,{\vec {e}}_{x}+\sin \theta _{0}\sin \varphi _{0}\,{\vec {e}}_{y}+\cos \theta _{0}\,{\vec {e}}_{z}$.

И ещё: элемент длины циклоиды

$x=a(t-\sin t),\quad$ $y=a(1-\cos t)$

равен:

$dl={\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}=a{\sqrt {2(1-\cos t)}}dt=2a\sin {\frac {t}{2}}\,dt,\quad$ $0\leqslant t\leqslant 2\pi ,\quad a>0.$

Элемент длины в римановых пространствах

В этом разделе представлены квадраты элемента длины, то есть метрические формы, в некоторых важнейших римановых пространствах.

Евклидово $n$-мерное пространство:

$dl^{2}=dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}+\dots +dx_{n}^{2}$.

Плоскость Лобачевского:

$dl^{2}={\frac {1}{k^{2}}}{\frac {(1-y^{2})dx^{2}+2xydxdy+(1-x^{2})dy^{2}}{(1-x^{2}-y^{2})^{2}}}$,

где $k<0$ — постоянная, которая называется кривизной пространства Лобачевского; $k^{2}(x^{2}+y^{2})<1$.

Трёхмерное пространство Лобачевского:

$dl^{2}={\frac {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}{\left[1+{\displaystyle {\frac {k}{4}}}(x^{2}+y^{2}+z^{2})\right]^{2}}},\quad$ $1+{\frac {k}{4}}(x^{2}+y^{2}+z^{2})>0$.

Пространство Минковского:

$dl^{2}=dt-{\frac {1}{c^{2}}}(dx^{2}+dy^{2}+dz^{2})$,

где $c$ ― скорость света, $t$ ― время события. В пространстве Минковского элемент длины может принимать мнимое значение.

Финслерово пространство:

$dl=f(x^{1},\dots ,x^{n};dx^{1},\dots ,dx^{n})$,

где $f(x^{1},\dots ,x^{n};dx^{1},\dots ,dx^{n})$ — произвольная положительно однородная функция относительно аргументов $dx^{1},\dots ,dx^{n}$.

Элемент длины в произвольных координатах

Для элемента длины $dl$ выведем формулу в произвольных координатах, опираясь на формулу в декартовых и ради краткости ограничиваясь двумерной ситуацией (хотя рассуждения можно распространить на трёхмерную).

Пусть задана система координат $(u,\,v)$, определяемая уравнениями

$x=x(u,\,v),\quad y=y(u,\,v),$

позволяющими по координатам $u$ и $v$ любой точки вычислить её декартовы координаты $x$ и $y$. Примем, что функции $x=x(u,\,v)$ и $y=y(u,\,v)$ непрерывно дифференцируемы и обратимы, а якобиан этих функций не равен нулю: $\det[D(x,\,y)}/{D(u,\,v)]\neq 0$.

Пусть, далее, дана некоторая кривая $u=u(t),$ $v=v(t),$ и пусть $dt$ — изменение параметра $t$, а $dl$ — элемент длины этой кривой, соответствующий $dt$. Тогда, подставив в уравнение

$dl^{2}=dx^{2}+dy^{2}$

величины

$dx={\frac {\partial x}{\partial u}}du+{\frac {\partial x}{\partial v}}dv,\quad dy={\frac {\partial y}{\partial u}}du+{\frac {\partial y}{\partial v}}dv$,

где $du=u'(t)dt$, $dv=v'(t)dt$, получим:

$dl^{2}=Edu^{2}+2Fdudv+Gdv^{2}$,

где $E={\frac {\partial x}{\partial u}}^{2}+{\frac {\partial y}{\partial u}}^{2}$, $F={\frac {\partial x}{\partial u}}{\frac {\partial x}{\partial v}}+{\frac {\partial y}{\partial u}}{\frac {\partial y}{\partial v}}$, $G={\frac {\partial x}{\partial v}}^{2}+{\frac {\partial y}{\partial v}}^{2}$.

$E$, $F$ и $G$ суть величины, которые при выбранных координатах $(u,\,v)$ полностью задаются выписанными выше уравнениями в любой точке плоскости, причём независимо от выбора кривой, проходящей через эту точку. Напротив, оба дифференциала $du$ и $dv$ определяются только перемещением точки с координатами $u$ и $v$.

Другими словами, выражение для $dl^{2}$ есть квадратичная форма (метрическая форма) с аргументами $du$, $dv$ и коэффициентами $E$, $F$, $G$. Полученная формула выражает длину на евклидовой плоскости в произвольных координатах и как частный случай содержит прежнюю формулу для длины в декартовых.

Элемент длины в приложениях

Подынтегральная функция 1

Помимо чисто геометрических задач, понятие скалярного «элемента длины» широко применяется в физике при расчёте длины траектории частицы. Скажем, если траектория задана зависимостью радиус-вектора от времени ${\vec {r}}(t)=x(t){\vec {e}}_{x}+y(t){\vec {e}}_{y}+z(t){\vec {e}}_{z}$, то $dx={\dot {x}}dt$ (и так же для других компонент) и

$L[t_{0},\ldots t]=\int _{t_{0}}^{t}dl=\int _{t_{0}}^{t}{\sqrt {{\dot {x}}^{2}(\tau )+{\dot {y}}^{2}(\tau )+{\dot {z}}^{2}(\tau )}}\,d\tau$,

где точка над символом означает производную по времени.

Элемент поверхности вращения

Элемент поверхности вращения

Пусть плоская дуга ${\stackrel {\smile }{AB}}$ вращается вокруг оси $OX$. Тогда в трёхмерном пространстве получается поверхность вращения, площадь которой равна следующему выражению (см. рис.):

$S=\int _{(A)}^{(B)}2\pi y\,dl$,

где $y$ — ордината меридиана $AB$, $dl={\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}$ — элемент длины дуги меридиана, $2\pi y\,dl$ — элемент поверхности вращения, $(A)$ и $(B)$ — крайние значения параметра $t$, через которые выражены координаты $x=x(t)$, $y=y(t)$.

Вычислим площадь поверхности вращения. Разделим поверхность вращения $ABB'A'$ на параллельные кольца, а каждое кольцо $MNN'M'$ заменим на боковую поверхность усечённого конуса, сохранив основания. Так как площади поверхностей этих усечённых конусов эквивалентны, то площадь кольца $MNN'M'$

$S_{MNN'M'}\approx \pi (PM+QN)MN$,

а поскольку

$PM+QN=2y+\Delta y$,

${\stackrel {\smile }{MN}}\approx MN=\Delta l$

то

$S_{MNN'M'}\approx \pi (2y+\Delta y)\Delta l\approx 2\pi y\Delta l$,

откуда и следует доказываемая формула:

$S=\int _{(A)}^{(B)}2\pi y\,dl$.

Пример. Найдём площадь поверхности, которая получается при вращении арки циклоиды

$x=a(t-\sin t),\quad$ $y=a(1-\cos t)$

вокруг её основания. Сразу получаем:

$dl=2a\sin {\frac {t}{2}}\,dt,\quad$ $0\leqslant t\leqslant 2\pi ,$

$S=\int _{0}^{2\pi }2\pi a(1-\cos t)\cdot 2a\sin {\frac {t}{2}}\,dt=$

$=8\pi a^{2}\int _{0}^{2\pi }\sin ^{3}{\frac {t}{2}}\,dt={\frac {64}{3}}\pi a^{2}.$

Сравним полученный результат с площадью осевого сечения, то есть с двойной площадью арки циклоиды $6\pi a^{2}$, получим, что площадь поверхности вращения превышает площадь сечения в $3{\frac {5}{9}}$ раза.

Пример. Найдём площадь поверхности, которая получается при вращении куска параболы

$x=t,\quad$ $y=t^{2},\quad$ $0\leqslant x\leqslant 1$

вокруг оси $x$. Сразу получаем:

$dl={\sqrt {1+4t^{2}}},\quad$ $S=2\pi \int _{0}^{1}t^{2}{\sqrt {1+4t^{2}}}\,dt.$

Пример. Найдём площадь $S$ сферы радиуса $r$. Эту сферу можно задать вращением полуокружности

$y={\sqrt {r^{2}-x^{2}}},\quad$ $-r\leqslant x\leqslant r,$

вокруг оси абсцисс. Но такое явное задание окружности не непрерывно дифференцируемо, поскольку производная $y'=-{\frac {x}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}$ бесконечна при $x=\pm r$. Поэтому для удобства зададим окружность параметрически:

$x=r\cos t,\quad$ $y=r\sin t,\quad$ $0\leqslant t\leqslant \pi .$

Тогда получаем:

$x'=-r\sin t,\quad$ $y'=r\cos t,$

$dl=r,\quad$ $S=2\pi r^{2}\int _{0}^{\pi }\sin t\,dt=4\pi r^{2}.$

Пример. Найдём площадь $S$ катеноида, то есть поверхности, которая получается при вращении дуги цепной линии

$x=t,\quad$ $y=a\operatorname {ch} {\frac {t}{a}},\quad$ $-b\leqslant t\leqslant b$

вокруг оси абсцисс. Сразу получаем:

$x'=1,\quad$ $y'=\operatorname {sh} {\frac {t}{a}},$

$dl={\sqrt {1+\operatorname {sh} ^{2}{\frac {t}{a}}}},\quad$ $S=2\pi a\int _{-b}^{b}\operatorname {ch} {\frac {t}{a}}{\sqrt {1+\operatorname {sh} ^{2}{\frac {t}{a}}}}\,dt=$

$=2\pi a\int _{-b}^{b}\operatorname {ch} ^{2}{\frac {t}{a}}\,dt=\pi a\int _{-b}^{b}\left(1+\operatorname {ch} {\frac {2t}{a}}\right)\,dt=\pi a\left(2b+a\operatorname {sh} {\frac {2b}{a}}\right).$

Работа силы

Рассмотрим движение материальной точки $M$ по непрерывно дифференцируемой кривой $AB=\{r=r(l)\}$, где $l$ — переменная длина дуги, $0\leqslant l\leqslant L$, причём на точку $M$ в положении $r(l)$ действует сила ${\vec {F}}(l)$, направленная по касательной к траектории материальной точки в направлении движения и имеющая модуль $F(l)$. Тогда работа $W$ силы ${\vec {F}}(l)$ вдоль кривой $AB$ выражается следующей формулой:

$W=\int _{0}^{L}F(l)\,dl$.

В случае, когда положение материальной точки на траектории её движения задаётся на основе другого параметра $t$ (например, времени), причём длина пройденного пути

$l=l(t),\quad$ $a\leqslant t\leqslant b,$

непрерывно дифференцируема, то получаем следующую формулу:

$W=\int _{a}^{b}F(l(t))l'(t)\,dt$.

Статические моменты и центр тяжести кривой

Статические моменты точки $M$ относительно осей $Ox$ и $Oy$ — произведения $my$ и $mx$ соответственно, где $m$ — масса материальной точки $M$, имеющей координаты $x$ и $y$ на плоскости.

Рассмотрим спрямляемую кривую $AB=\{r(l),\,0\leqslant l\leqslant L\}$, где $l$ — переменная длина дуги. Кривая $AB$ имеет массу, причём масса её дуги прямо пропорциональна длине дуги, то есть масса дуги длиной $\Delta l$ равна $\Delta m=\rho \Delta l$, где $\rho$ — некоторая постоянная.

Линейная плотность кривой $AB$ — коэффициент пропорциональности $\rho ={\frac {\Delta m}{\Delta l}}$, где дуга длиной $\Delta l$ имеет массу $\Delta m$, то есть плотность кривой есть массе длины её дуги, которая приходится на единицу длины этой дуги.

Однородная кривая — кривая с линейной плотностью.

Пусть для простоты в дальнейшем $\rho =1$, то есть дуга длиной $\Delta l$ имеет массу $\Delta l$, в частности, масса всей кривой $AB$ равна $L$.

Момент кривой относительно оси — момент $M_{x}$ ($M_{y}$) кривой $AB$ относительно оси $Ox$ ($Oy$) равен следующей величине:

$M_{x}=\int _{0}^{L}y\,dl\quad$ $\left(M_{y}=\int _{0}^{L}x\,dl\right)$.

Центр тяжести кривой — точка плоскости $P(x_{0},\,y_{0})$ такая, что если в ней находится материальная точка с массой $L$ всей кривой $AB$, то тогда статический момент этой точки относительно любой координатной оси равен статическому моменту ей кривой относительно той же оси.

По определению получаем, что

$x_{0}L=M_{y},\quad$ $y_{0}L=M_{x},$

то есть имеем следующие формулы:

$x_{0}={\frac {1}{L}}\int _{0}^{L}x\,dl,\quad$ $y_{0}={\frac {1}{L}}\int _{0}^{L}y\,dl.$

Теорема Гульдина. Площадь поверхности вращения кривой около некоторой не пересекающей её оси равна произведению длины этой кривой и длины окружности, которая описана центром тяжести этой кривой.

Доказательство. Сравним формулу ординаты центра тяжести кривой (непрерывно дифференцируемой без особых точек)

$y_{0}L=\int _{0}^{L}y\,dl$

с формулой площади поверхности вращения этой же кривой вокруг некоторой оси

$S=\int _{0}^{L}2\pi y\,dl$,

имеем интересное соотношение

$S=2\pi y_{0}L$,

которое и доказывает теорему.

Если у кривой известно положение центра тяжести, то тогда по теорема Гульдина легко находится площадь поверхности вращения этой кривой.

Пример. Найдём площадь поверхности, полученной вращением окружности

$S=(x-a)^{+}y^{2}=r^{2},\,\quad$ $0<r<a,$

не пересекающей ось $Oy$, вокруг этой оси, то есть площадь поверхности тора. Поскольку центр окружности совпадает с её центром тяжести, имеем:

$S=2\pi a\cdot 2\pi r=4\pi ^{2}ar$,

Пример. Найдём центр тяжести цепной линии, выраженной следующей формулой:

$y=a\operatorname {ch} {\frac {x}{a}},\quad$ $-b\leqslant x\leqslant b.$

Цепная линия симметрична относительно оси $Oy$, поэтому момент

$M_{y}=0$,

что легко доказать: выберем за начало отсчёта дуг пересечение цепной линии с осью $Oy$, и пусть $2L$ — длина цепной линии, тогда

$M_{y}=\int _{-L}^{L}x(l)\,dl=0$,

так как $x(l)$ — нечётная функция. И поскольку $2Lx_{0}=M_{y}$, то получаем первую координату центра тяжести:

$x_{0}=0$.

Рассмотрим выражение для следующего момента

$M_{x}=\int _{-L}^{L}y\,dl$,

причём

$2\pi M_{x}=2\pi y_{0}L=S_{x}$,

где $S_{x}$ — площадь поверхности вращения цепной линии вокруг оси $Ox$, то есть площадь поверхности катеноида. Но сама по себе площадь поверхности катеноида $S_{x}=\pi a\left(2b+a\operatorname {sh} {\frac {2b}{a}}\right)$, следовательно, получаем следующее уравнение: $M_{x}={\frac {a}{2}}\left(2b+a\operatorname {sh} {\frac {2b}{a}}\right)$.

С другой стороны, назначенную длину цепной линии $2L$ легко определить по формуле

$2L=\int _{-b}^{b}dl=\int _{-b}^{b}{\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}=\int _{-b}^{b}{\sqrt {1+y'^{2}}}\,dx=$

$=\int _{-b}^{b}{\sqrt {1+\operatorname {sh} ^{2}{\frac {x}{a}}}}\,dx=\int _{-b}^{b}\operatorname {ch} {\frac {x}{a}}=a\operatorname {sh} {\frac {x}{a}}{\Bigr |}_{-b}^{b}=2a\operatorname {sh} {\frac {b}{a}}$,

откуда вытекает следующая формула для второй координаты центра тяжести:

$y_{0}={\frac {M_{x}}{2L}}={\frac {2b+a\operatorname {sh} {\displaystyle {\frac {2b}{a}}}}{4\operatorname {sh} {\displaystyle {\frac {b}{a}}}}}$.

Векторный элемент. Циркуляция

Обзорная статья: Циркуляция векторного поля

Рассмотрим в области $\Omega$ трёхмерного пространства векторное поле, которое задано вектор-функцией ${\vec {a}}(M)$, где $M\in \Omega$ — переменная точка. Циркуляцию векторного поля вдоль некоторой кусочно-гладкой кривой $AB\subset \Omega$ можно записать в виде криволинейного интеграла от скалярного произведения векторов

$\int _{AB}{\vec {a}}\,{\vec {e}}_{t}\,dl=\int _{AB}{\vec {a}}\,d{\vec {l}},\quad$ ${\frac {d{\vec {l}}}{dl}}={\vec {e}}_{t},$

где ${\vec {e}}_{t}$ — единичный вектор касательной к кривой $AB$ (и к дуге ${\stackrel {\smile }{AM}}$) в точке $M$, $l$ — длина части кривой $AB$ (дуги ${\stackrel {\smile }{AM}}$), отсчитываемая от точки $A$ до переменной точки $M\in AB$, $dl$ и $d{\vec {l}}$ — соответственно скалярный и векторный элементы длины части кривой $AB$ (дуги ${\stackrel {\smile }{AM}}$).

В координатной форме, то есть в трёхмерной декартовой системе координат, получаем:

$\int _{AB}{\vec {a}}\,d{\vec {l}}=\int _{AB}X\,dx+Y\,dy+Z\,dz$.

Элемент циркуляции — векторное произведение ${\vec {a}}\,d{\vec {l}}=X\,dx+Y\,dy+Z\,dz$.

Если вектор-функцию ${\vec {a}}(M)$ интерпретировать как физическое силовое поле, то рассмотренная циркуляция такого векторного поля ${\vec {a}}(M)$ вдоль кривой $AB$ есть механическая работа силы поля вдоль пути $AB$.

В электродинамике такие интегралы с $d{\vec {l}}$ встречаются при вычислении циркуляций векторов напряжённости электрического и магнитного полей

$\oint {\vec {E}}\cdot d{\vec {l}},\quad \oint {\vec {H}}\cdot d{\vec {l}}$

по замкнутому контуру, фигурирующих, в частности, в двух из четырёх уравнений Максвелла.

Источники

• Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике. Изд-е 12-е, стереотип. М.: «Наука», 1977. 871 с., ил.
• Ефимов Н. В. Высшая геометрия. 7-е изд. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. 584 с. ISBN 5-9221-0267-2.
• Ефимов Н. В. Дифференциальная геометрия // Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю. В. Прохоров; Ред. Кол.: С. И. Адян, Н. С. Бахвалов, В. И. Битюцков, А. П. Ершов, Л. Д. Кудрявцев, А. Л. Онищик, А. П. Юшкевич. М.: «Советская энциклопедия», 1988. 847 с., ил. С. 189—197.
• Иванов А. Б. Векторный анализ // Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю. В. Прохоров; Ред. Кол.: С. И. Адян, Н. С. Бахвалов, В. И. Битюцков, А. П. Ершов, Л. Д. Кудрявцев, А. Л. Онищик, А. П. Юшкевич. М.: «Советская энциклопедия», 1988. 847 с., ил. С. 111—112.
• Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа. Часть I. 3-е изд., испр. и доп. М.: «Наука», 1971. 599 с. с илл. (Серия: «Курс высшей математики и математической физики». Выпуск 1 / Под ред. А. Н. Тихонова, В. А. Ильина, А. Г. Свешникова).
• Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа. Часть II. 2-е изд., стереотипное. М.: «Наука», 1980. 447 с. с илл. (Серия: «Курс высшей математики и математической физики». Выпуск 2а / Под ред. А. Н. Тихонова, В. А. Ильина, А. Г. Свешникова).
• Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Бл. Х. Математический анализ. Начальный курс. 2-е изд., перераб. / Под ред. А. Н. Тихонова. М.: Изд-во МГУ, 1985. 662 с. с илл.
• Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа (в двух томах): Учебник для студентов университетов и втузов. М.: «Высшая школа», 1981, т. I. 687 с., ил.
• Лаптев Г. Ф. Элементы векторного исчисления. М.: Наука, 1975. 336 с., ил.
• Никольский С. М. Курс математического анализа. Т. I. 3-е изд., перераб. и доп. М.: «Наука», 1983. 464 с., ил.
• Полярные координаты // Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю. В. Прохоров; Ред. Кол.: С. И. Адян, Н. С. Бахвалов, В. И. Битюцков, А. П. Ершов, Л. Д. Кудрявцев, А. Л. Онищик, А. П. Юшкевич. М.: «Советская энциклопедия», 1988. 847 с., ил. С. 475.
• Соколов Д. Д. Сферические координаты // Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 5 Слу—Я. М.: «Советская Энциклопедия», 1985. 1248 стб., ил. Стб. 293.
• Соколов Д. Д. Цилиндрические координаты // Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 5 Слу—Я. М.: «Советская Энциклопедия», 1985. 1248 стб., ил. Стб. 819—820.
• Сферические координаты // Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю. В. Прохоров; Ред. Кол.: С. И. Адян, Н. С. Бахвалов, В. И. Битюцков, А. П. Ершов, Л. Д. Кудрявцев, А. Л. Онищик, А. П. Юшкевич. М.: «Советская энциклопедия», 1988. 847 с., ил. С. 572.
• Цилиндрические координаты // Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю. В. Прохоров; Ред. Кол.: С. И. Адян, Н. С. Бахвалов, В. И. Битюцков, А. П. Ершов, Л. Д. Кудрявцев, А. Л. Онищик, А. П. Юшкевич. М.: «Советская энциклопедия», 1988. 847 с., ил. С. 625.
• Циркуляция векторного поля // Воднев В. Т., Наумович А. Ф., Наумович Н. Ф. Математический словарь высшей школы: Общая часть / Под. ред. Ю. С. Богданова. Минск: Высшая школа, 1984. 527 с., ил. С. 506—507.