Цепная линия

Цепна́я ли́ния, также катенария, — линия, форму которой принимает гибкая однородная нерастяжимая тяжёлая нить или цепь (отсюда название линии) с закреплёнными концами в однородном гравитационном поле. Является плоской трансцендентной кривой.

Висящая цепь образует цепную линию

Цепная линия при различных значениях параметра $a$

Уравнение линии в декартовых координатах:

$y={\frac {a}{2}}(e^{x/a}+e^{-x/a})=a\operatorname {ch} {\frac {x}{a}}$

(о функции $\operatorname {ch}$ см. гиперболический косинус).

Все цепные линии подобны одна другой, изменение параметра $a$ эквивалентно равномерному растяжению или сжатию графика функции вдоль оси $x$. Переменная $x$ графика отсчитывается от самой низкой точки на оси ординат цепной линии. Значение этой ординаты равно значению $a$. Если значение параметра $a$ меньше нуля, то мы имеем не провисающую цепь, а арку.

Параметр $a$ имеет физический смысл. Это отношение горизонтальной проекции силы, растягивающей цепь, к удельному (линейному) весу цепи.

Математические свойства цепной линии впервые изучал Роберт Гук в 1670-х годах, а её уравнение было получено независимо Лейбницем, Гюйгенсом и Иоганном Бернулли в 1691 году.

Свойства

Натяжение цепной линии. Каждая кривая соответствует разному значению горизонтальной составляющей силы натяжения $T_{H}.$ Параметр $a={\frac {T_{H}}{\lambda H}},$ где $\lambda$ — погонная плотность нити

Цепная линия - траектория фокуса параболы, катящейся по прямой.

• Мыльная плёнка, натянутая на два параллельных кольца, не обязательно равных диаметров, принимает форму катеноида — поверхности, возникающей в результате вращения цепной линии.
• Длина дуги от вершины до произвольной точки $(x,~y)$:

  $s=a\operatorname {sh} {\frac {x}{a}}={\sqrt {y^{2}-a^{2}}}.$

• Радиус кривизны:

  $R=a\operatorname {ch} ^{2}{\frac {x}{a}}={\frac {y^{2}}{a}}.$

• Площадь, ограниченная цепной линией, двумя её ординатами и осью абсцисс:

  $S=a^{2}\left(\operatorname {sh} {\frac {x_{2}}{a}}-\operatorname {sh} {\frac {x_{1}}{a}}\right)=a\left({\sqrt {y_{2}^{2}-a^{2}}}-{\sqrt {y_{1}^{2}-a^{2}}}\right).$

• Траектория фокуса параболы, катящейся по прямой, есть цепная линия.
• Центр тяжести цепной линии — самый низкий из всех форм нитей равной длины, соединяющих две опоры, т. е. имеет минимум потенциальной энергии.

Применения

Арки

Перевёрнутая цепная линия — идеальная с точки зрения прочности форма для арок. Материал однородной арки с одинаковой по длине линейной плотностью в форме перевёрнутой цепной линии испытывает только механические напряжения сжатия и не испытывает напряжений изгиба.

Мосты

Горбатый мост имеет форму, близкую к цепной линии.

Стоит заметить, что форма изгиба тросов подвесного моста ближе к параболе, чем к цепной линии. Это связано с тем, что основной вес моста распределён в полотне моста, а не в поддерживающих тросах.

Трёхколёсный велосипед с квадратными колёсами едет по поверхности с профилем цепной линии

Квадратные колёса

Если профиль шоссе представляет собой перевёрнутые арки цепной линии, то по нему можно ездить на квадратных колёсах, ровно и без тряски — если сторона квадрата колеса равна длине арки неровности дороги.

История

Уравнение цепной линии практически одновременно получено Лейбницем, Гюйгенсом и Иоганном Бернулли.

Дополнительные факты

На арке «Ворота на запад» в Сент-Луисе написана математическая формула её цепной линии, выраженная в футах:

$y=-127{,}7'\cdot \operatorname {ch} (x/127{,}7')+757{,}7'.$

Выраженное в метрах, это уравнение будет $y=-38{,}92\cdot \operatorname {ch} (x/38{,}92)+230{,}95.$

См. также

• Фонтан из цепочки

Литература

• Люстерник Л. А. Кратчайшие линии. Вариационные задачи. — М.—Л.: Гостехиздат, 1955. — (Популярные лекции по математике).
• Меркин Д. Р. Введение в механику гибкой нити. — М.: Наука, 1980. — 240 с.