Эксцентриситет
Эксцентрисите́т — числовая характеристика конического сечения, показывающая степень его отклонения от окружности. Обычно обозначается или .
![](http://up.wiki.x.io/wikipedia/commons/thumb/0/05/Eccentricity.png/280px-Eccentricity.png)
Эксцентриситет инвариантен относительно движений плоскости и преобразований подобия.
Определение
правитьВсе невырожденные конические сечения, кроме окружности, можно описать следующим способом: выберем на плоскости точку и прямую и зададим вещественное число ; тогда геометрическое место точек , для которых отношение расстояний до точки и до прямой равно , является коническим сечением; то есть, если есть проекция на , то
- .
Это число называется эксцентриситетом конического сечения. Эксцентриситет окружности по определению равен 0.
Связанные определения
править- Точка называется фокусом конического сечения.
- Прямая называется директрисой.
Коническое сечение в полярных координатах
правитьКоническое сечение, один из фокусов которого находится в полюсе, задаётся в полярных координатах уравнением:
- ,
где — эксцентриситет, а — другой постоянный параметр (так называемый фокальный параметр).
Легко показать, что это уравнение эквивалентно определению, данному выше. В сущности, оно может быть использовано в качестве альтернативного определения эксцентриситета, быть может, менее фундаментального, но удобного с аналитической и прикладной точек зрения; в частности, из него хорошо видна роль эксцентриситета в классификации конических сечений и определённым образом дополнительно проясняется его геометрический смысл.
Свойства
править- В зависимости от эксцентриситета, получится:
- Эксцентриситет эллипса и гиперболы равен отношению расстояния от фокуса до центра к большой полуоси. Это свойство иногда принимают за определение эксцентриситета. В прежние времена (например, в 1787 году[1]) на большую полуось не делили — эксцентриситетом эллипса называли расстояние от фокуса до центра[2].
- Эксцентриситет эллипса может быть также выражен через отношение малой ( ) и большой ( ) полуосей:
- .
- Эксцентриситет гиперболы может быть выражен через отношение мнимой ( ) и действительной ( ) полуосей:
- .
- Эксцентриситет равносторонней гиперболы, являющейся графиком обратной пропорциональности и задаваемой уравнением , равен .
- Для эллипса также может быть выражен через отношение радиусов пери- ( ) и апоцентров ( ):
- .
См. также
правитьПримечания
править- ↑ John Bonnycastle. An Introduction to Astronomy. — London, 1787. — С. 90.
- ↑ The Oxford English Dictionary (англ.). — 2nd ed. — Oxford: Oxford University Press, 1989. — Vol. V. — P. 50.
Литература
править- Акопян А. В., Заславский А. А. Геометрические свойства кривых второго порядка. — М.: МЦНМО, 2007. — 136 с.
Ссылки
править- «Эксцентриситет» — статья в Малой советской энциклопедии; 2 издание; 1937—1947 гг.