Абсолютно чёрное тело

Абсолю́тно чёрное те́ло (сокращëнно АЧТ) — физическое тело, которое при любой температуре поглощает всё падающее на него электромагнитное излучение во всех диапазонах^[1].

Таким образом, у абсолютно чёрного тела поглощательная способность (отношение поглощённой энергии к энергии падающего излучения) равна 1 для излучения всех частот, направлений распространения и поляризаций^[2]^[3].

Несмотря на название, абсолютно чёрное тело само может испускать электромагнитное излучение любой частоты и визуально иметь цвет. Более того, как следует из закона Кирхгофа для теплового излучения, АЧТ обладает максимально возможной излучательной способностью. Спектр излучения абсолютно чёрного тела непрерывен и диктуется только температурой. Длина волны спектрального максимума для АЧТ определяется законом смещения Вина.

Важность абсолютно чёрного тела в теории теплового излучения обусловлена тем, что вопрос о спектре равновесного теплового излучения тел любого цвета и коэффициента отражения сводится методами классической термодинамики к вопросу об излучении абсолютно чёрного тела. К концу XIX века проблема излучения абсолютно чёрного тела вышла на первый план.

Спектральная плотность мощности излучения чёрного тела (мощность, излучаемая с поверхности единичной площади в единичном интервале частот в герцах) задаётся формулой Планка

R_{\nu }(\nu ,\,T)={\frac {2\pi h\nu ^{3}}{c^{2}}}{\frac {1}{e^{h\nu /kT}-1}}

,

где $T$ — температура, $h$ — постоянная Планка, $c$ — скорость света, $k$ — постоянная Больцмана, $\nu$ — частота электромагнитного излучения.

Среди тел Солнечной системы свойствами абсолютно чёрного тела в наибольшей степени обладает Солнце. Максимум энергии излучения Солнца приходится примерно на длину волны 450 нм, что соответствует температуре наружных слоёв Солнца около 6000 K (если рассматривать Солнце как абсолютно чёрное тело)^[4].

Термин «абсолютно чёрное тело» был введён Густавом Кирхгофом в 1862 году.

Практическая модель абсолютно чёрного тела

Модель абсолютно чёрного тела

Для физических экспериментов и обсуждений, касающихся проблематики абсолютно чёрного тела, используют модельный объект. Он представляет собой кусок непрозрачного материала, имеющий замкнутую полость с изотермическими стенками, к которой ведёт небольшое отверстие. Свет, попадающий внутрь сквозь это отверстие, после многократных отражений будет полностью поглощён, и отверстие снаружи будет выглядеть совершенно чёрным^[3]. Но при нагревании этой полости у неё появится собственное видимое излучение. Поскольку излучение, испущенное внутренними стенками полости, прежде чем выйдет (ведь отверстие очень мало), в подавляющей доле случаев претерпит огромное количество новых поглощений и излучений, то можно с уверенностью сказать, что излучение внутри полости находится в термодинамическом равновесии со стенками. (На самом деле, наличие отверстия для этой модели вообще не важно, оно нужно только чтобы подчеркнуть принципиальную наблюдаемость излучения, находящегося внутри; отверстие можно, например, совсем закрыть, и быстро приоткрыть только тогда, когда равновесие уже установилось и проводится измерение.)

Электромагнитное излучение, находящееся в термодинамическом равновесии с абсолютно чёрным телом при данной температуре (например, излучение внутри полости в абсолютно чёрном теле), называется чернотельным (или тепловым равновесным) излучением. Равновесное тепловое излучение однородно, изотропно и неполяризовано, перенос энергии в нём отсутствует, все его характеристики зависят только от температуры абсолютно чёрного тела-излучателя (и, поскольку чернотельное излучение находится в тепловом равновесии с данным телом, эта температура может быть приписана излучению).

Примеры чёрных тел и чернотельного излучения

Близким к единице коэффициентом поглощения обладают сажа и платиновая чернь^[3]. Сажа поглощает до 99 % падающего излучения (то есть имеет альбедо, равное 0,01) в видимом диапазоне длин волн, однако инфракрасное излучение поглощается ею значительно хуже.

Наиболее чёрное из всех известных веществ — изобретённая в 2014 году субстанция Vantablack, состоящая из параллельно ориентированных углеродных нанотрубок, — поглощает 99,965 % падающего на него излучения в диапазонах видимого света, микроволн и радиоволн.

Очень близко по своим свойствам к чернотельному так называемое реликтовое излучение, или космический микроволновой фон — заполняющее Вселенную излучение с температурой около 3 K.

Чернотельным является излучение Хокинга (квантовомеханическое испарение чёрных дыр). Это излучение имеет температуру $T_{\text{BH}}={\frac {hc^{3}}{16\pi ^{2}kGM}}$ , где $G$ — гравитационная постоянная, а $M$ — масса чёрной дыры.

Законы излучения абсолютно чёрного тела

Под законами излучения подразумеваются зависимости испускательной способности поверхности тела от частоты ( $R_{\nu }(\nu )$ , Вт/м²/Гц) или длины волны ( $R_{\lambda }(\lambda )$ , Вт/м²/м) излучения, а также утверждения, касающиеся особенностей таких зависимостей. Вместо испускательной способности может рассматриваться связанная с ней формулой $u=4R/c\,$ (где $c$ — скорость света) объёмная спектральная плотность излучения (Дж/м³/Гц для $u_{\nu }(\nu )$ или Дж/м³/м для $u_{\lambda }(\lambda )$ ).

Изначально при поиске выражения для закона излучения чёрного тела были применены классические методы, которые дали ряд важных и верных результатов, но полностью решить проблему не позволили. В итоге анализ излучения абсолютно чёрного тела явился одной из предпосылок появления квантовой механики.

Классические законы

Закон Рэлея — Джинса

Попытка описать излучение абсолютно чёрного тела на основе классических принципов термодинамики приводит к закону Рэлея — Джинса (k — постоянная Больцмана, $T$ — температура):

u_{\nu }={\frac {8\pi \nu ^{2}kT}{c^{3}}}

,

u_{\lambda }={\frac {8\pi kT}{\lambda ^{4}}}

.

Формула соответствует эксперименту в длинноволновой области спектра.

Однако, эта формула предполагает неограниченное квадратичное возрастание спектральной плотности с частотой. На практике данный закон означал бы невозможность термодинамического равновесия между веществом и излучением, поскольку согласно ему вся тепловая энергия должна была бы перейти в энергию коротковолнового излучения. Такое гипотетическое явление было названо ультрафиолетовой катастрофой.

Первый закон излучения Вина

В 1893 году Вильгельм Вин, воспользовавшись, помимо классической термодинамики, электромагнитной теорией света, вывел следующую формулу:

u_{\nu }=\nu ^{3}f\left({\frac {\nu }{T}}\right)

,

u_{\lambda }=\lambda ^{-5}f\left({\frac {c}{\lambda T}}\right)

,

где f — функция, зависящая исключительно от отношения частоты к температуре. Установить её вид только из термодинамических соображений невозможно.

Первая формула Вина справедлива для всех частот.

Из неё выводится закон смещения Вина (закон максимума) в виде

\lambda _{max}\sim {\frac {\rm {const}}{T}}

,

где $\lambda _{max}$ отвечает максимуму функции $u_{\lambda }(\lambda )$ . Также можно получить закон Стефана — Больцмана:

J={\frac {c}{4}}\int u_{\nu }\,d\nu \sim {\rm {const}}\cdot T^{4}

,

где $J$ — мощность излучения единицы поверхности тела. Константы могут быть оценены из эксперимента. Для теоретического же их определения требуются методы квантовой механики.

Второй закон излучения Вина

В 1896 году Вин на основе дополнительных предположений вывел второй закон:

u_{\nu }=C_{1}\nu ^{3}e^{-C_{2}{\frac {\nu }{T}}}

,

u_{\lambda }=C_{1}\,c^{4}\lambda ^{-5}e^{-C_{2}{\frac {c}{\lambda T}}}

,

где C₁, C₂ — константы. Опыт показывает, что вторая формула Вина справедлива лишь в пределе высоких частот (малых длин волн). Она является частным конкретным случаем первого закона Вина.

Как и в случае закона максимума, константы не могут быть определены только из классических моделей.

Квантовомеханические законы

Закон Планка

По современным представлениям, интенсивность излучения абсолютно чёрного тела в зависимости от частоты и температуры определяется законом Планка^[5]:

u_{\nu }={\frac {8\pi h\nu ^{3}}{c^{3}}}{\frac {1}{e^{h\nu /kT}-1}},\qquad R_{\nu }={\frac {2\pi h\nu ^{3}}{c^{2}}}{\frac {1}{e^{h\nu /kT}-1}}

.

Здесь приведено выражение как для объёмной спектральной плотности энергии $u_{\nu }$ , так и для поверхностной спектральной плотности мощности излучения $R_{\nu }$ . Это эквивалентно

u_{\lambda }={8\pi h{c} \over \lambda ^{5}}{1 \over e^{hc/\lambda kT}-1},\qquad R_{\lambda }={2\pi h{c^{2}} \over \lambda ^{5}}{1 \over e^{hc/\lambda kT}-1}

,

где те же величины представлены как зависимости от длины волны.

Исходя из формулы Планка можно получить формулу Рэлея — Джинса при $h\nu /kT\ll 1$ .

Также было показано, что второй закон Вина следует из закона Планка для больших энергий квантов — и были найдены входящие в закон Вина постоянные C₁ и C₂. В результате формула второго закона Вина обретает вид

u_{\nu }={\frac {8\pi h\nu ^{3}}{c^{3}}}e^{-{\frac {h\nu }{kT}}}\quad (h\nu /kT\gg 1)

.

Во всех вышеприведённых выражениях через h обозначена постоянная Планка.

Закон смещения Вина

Зависимость мощности излучения чёрного тела от длины волны

Длина волны, при которой спектральная плотность мощности излучения абсолютно чёрного тела максимальна, определяется законом смещения Вина:

\lambda _{\text{max}}={\frac {0{,}002898}{T}},

где $T$ — температура в кельвинах, а $\lambda _{\text{max}}$ — длина волны, отвечающей максимуму $u_{\lambda }$ , в метрах. Числовой множитель получается из формулы Планка.

Если считать, что кожа человека близка по свойствам к абсолютно чёрному телу, то максимум спектра излучения при температуре 36 °C (309 K) лежит на длине волны 9400 нм (в инфракрасной области).

Закон Стефана — Больцмана

Закон Стефана — Больцмана гласит, что полная мощность излучения (Вт/м²) абсолютно чёрного тела, то есть интеграл спектральной плотности мощности по всем частотам, приходящаяся на единицу площади поверхности, прямо пропорциональна четвёртой степени температуры тела:

J=\int R_{\nu }(\nu ,T)\,d\nu =\sigma T^{4}

,

где

\sigma ={\frac {2\pi ^{5}k^{4}}{15c^{2}h^{3}}}={\frac {\pi ^{2}k^{4}}{60\hbar ^{3}c^{2}}}\approx 5{,}670400(40)\cdot 10^{-8}

Вт/(м²·К⁴) — постоянная Стефана — Больцмана.

Таким образом, абсолютно чёрное тело при $T$ = 100 K излучает 5,67 ватта с квадратного метра поверхности. При 1000 K мощность излучения увеличивается до 56,7 киловатта с квадратного метра.

Для нечёрных тел приближённо $J=\epsilon \sigma T^{4}$ , где $\epsilon$ — степень черноты. Для абсолютно чёрного тела $\epsilon =1$ , для других объектов в силу закона Кирхгофа степень черноты равна коэффициенту поглощения $\epsilon =\alpha =1-\rho -\tau$ , где $\alpha$ — коэффициент поглощения, $\rho$ — коэффициент отражения, а $\tau$ — коэффициент пропускания. Поэтому для уменьшения лучистого теплопереноса поверхность окрашивают в белый цвет или наносят блестящее покрытие, а для увеличения — затемняют.

Цветность чернотельного излучения

Излучение нагретого металла в видимом диапазоне

Цветность чернотельного излучения, или, вернее, цветовой тон излучения абсолютно чёрного тела при его определённой температуре, приведена в таблице:

Температурный интервал в кельвинах	Цвет
до 1000	Красный
1000—2000	Оранжевый
2000—3000	Жёлтый
3000—4500	Бледно-жёлтый
4500—5500	Желтовато-белый
5500—6500	Чисто белый
6500—8000	Голубовато-белый
8000—15000	Бело-голубой
15000 и более	Голубой

Цвета даны в сравнении с рассеянным дневным светом (D₆₅). Реально воспринимаемый цвет может быть искажён адаптацией глаза к условиям освещения. Видимый цвет чёрных тел с разной температурой также представлен на диаграмме в начале статьи.

Термодинамика чернотельного излучения

В термодинамике равновесное тепловое излучение рассматривают как фотонный газ, состоящий из электронейтральных безмассовых частиц, заполняющий полость объёмом V в абсолютно чёрном теле (см. раздел «Практическая модель»), с давлением P и температурой T, совпадающей с температурой стенок полости. Для фотонного газа справедливы следующие термодинамические соотношения^[6]^[7]^[8]^[9]:

P={\frac {a}{3}}T^{4},

(Термическое уравнение состояния)

U=aVT^{4},

(Калорическое уравнение состояния для внутренней энергии)

U=aV\left({\frac {3S}{4aV}}\right)^{4/3},

(Каноническое уравнение состояния для внутренней энергии)

H=\left({\frac {3P}{a}}\right)^{1/4}S,

(Каноническое уравнение состояния для энтальпии)

F=-{\frac {1}{3}}aVT^{4},

(Каноническое уравнение состояния для потенциала Гельмгольца)

G=0,

(Каноническое уравнение состояния для потенциала Гиббса)

\Omega =-{\frac {1}{3}}\alpha VT^{4},

(Каноническое уравнение состояния для потенциала Ландау)

\mu =0,

(Химический потенциал)

S={\frac {4a}{3}}VT^{3},

(Энтропия)

C_{V}=4aVT^{3},

(Теплоёмкость при постоянном объёме)

C_{P}=\infty ,

(Теплоёмкость при постоянном давлении)

\gamma =\infty ,

(Показатель адиабаты)

S={\text{const}},\quad VT^{3}={\text{const}},\quad PV^{4/3}={\text{const}}.

(Уравнения адиабаты)

Для большей компактности в формулах использована радиационная постоянная a вместо постоянной Стефана — Больцмана σ:

a={\frac {4\sigma }{c}},

(Радиационная постоянная)

где c — скорость света в вакууме.

Фотонный газ представляет собой систему с одной термодинамической степенью свободы^[10].

Давление фотонного газа не зависит от объёма, поэтому для фотонного газа изотермический процесс (T = const) является одновременно и изобарным процессом (P = const). С повышением температуры давление фотонного газа растёт очень быстро, достигая 1 атмосферы уже при T = 1,4⋅10⁵ K, а при температуре 10⁷ K (температура центра Солнца) давление достигает значения 2,5⋅10⁷ атм (2,5⋅10¹² Па). Величина теплоёмкости излучения становится сравнимой с величиной теплоёмкости одноатомного идеального газа лишь при температурах порядка миллионов кельвинов.

Представление о температуре излучения было введено Б. Б. Голицыным (1893).

См. также

Примечания

↑ Абсолютно чёрное тело // Большой энциклопедический политехнический словарь. — 2004.
↑ М. А. Ельяшевич. Абсолютно чёрное тело // Физическая энциклопедия. В 5 томах / Главный редактор А. М. Прохоров. — М.: Советская энциклопедия, 1988.
↑ ¹ ² ³ Абсолютно чёрное тело // Физический энциклопедический словарь / Главный редактор А. М. Прохоров. — М.: Советская энциклопедия, 1983.
↑ Кочаров Г. Е. Солнце // Физическая энциклопедия / Гл. ред. А. М. Прохоров. — М.: Большая Российская энциклопедия, 1994. — Т. 4. — С. 594. — 704 с. — 40 000 экз. — ISBN 5-85270-087-8.
↑ Квантовая физика / МГТУ им. Н. Э. Баумана. Кафедра физики (неопр.). fn.bmstu.ru. Дата обращения: 28 сентября 2015. Архивировано 28 сентября 2015 года.
↑ Гуггенгейм, Современная термодинамика, 1941, с. 164—167.
↑ Новиков И. И., Термодинамика, 1984, с. 465—467.
↑ Сычёв В. В., Сложные термодинамические системы, 2009.
↑ Базаров И. П., Термодинамика, 2010, с. 157, 177, 349.
↑ Алмалиев А. Н. и др., Термодинамика и статистическая физика, 2004, с. 59.

Литература

Алмалиев А. Н., Копытин И. В., Корнев А. С., Чуракова Т. А. Термодинамика и статистическая физика: Статистика идеального газа. — Воронеж: Ворон. гос. ун-т, 2004. — 79 с.
Базаров И. П. Термодинамика. — 5-е изд. — СПб. — М. — Краснодар: Лань, 2010. — 384 с. — (Учебники для вузов. Специальная литература). — ISBN 978-5-8114-1003-3.
Гуггенгейм. Современная термодинамика, изложенная по методу У. Гиббса / Пер. под ред. проф. С. А. Щукарева. — Л. — М.: Госхимиздат, 1941. — 188 с.
Новиков И. И. Термодинамика. — М.: Машиностроение, 1984. — 592 с.
Сычёв В. В. Сложные термодинамические системы. — 5-е изд., перераб. и доп.. — М.: Издательский дом МЭИ, 2009. — 296 с. — ISBN 978-5-383-00418-0.
Мартинсон Л. К., Смирнов Е. В. Квантовая теория // Физика в техническом университете, 5-й том. — МГТУ им. Н. Э. Баумана.

Ссылки

Спектр чёрного тела (flash-приложение)
Keesey, Lori J. Blacker than black (неопр.). NASA (12 декабря 2010).

[1] Абсолютно чёрное тело // Большой энциклопедический политехнический словарь. — 2004.

[2] М. А. Ельяшевич. Абсолютно чёрное тело // Физическая энциклопедия. В 5 томах / Главный редактор А. М. Прохоров. — М.: Советская энциклопедия, 1988.

[Phys_enc_dictionary_1983-3] ¹ ² ³ Абсолютно чёрное тело // Физический энциклопедический словарь / Главный редактор А. М. Прохоров. — М.: Советская энциклопедия, 1983.

[4] Кочаров Г. Е. Солнце // Физическая энциклопедия / Гл. ред. А. М. Прохоров. — М.: Большая Российская энциклопедия, 1994. — Т. 4. — С. 594. — 704 с. — 40 000 экз. — ISBN 5-85270-087-8.

[5] Квантовая физика / МГТУ им. Н. Э. Баумана. Кафедра физики (неопр.). fn.bmstu.ru. Дата обращения: 28 сентября 2015. Архивировано 28 сентября 2015 года.

[_f4f824834220f7bd-6] Гуггенгейм, Современная термодинамика, 1941, с. 164—167.

[_9f373c4fe06fba17-7] Новиков И. И., Термодинамика, 1984, с. 465—467.

[_bfed6b5fd82024df-8] Сычёв В. В., Сложные термодинамические системы, 2009.

[_c50f4afea9c893b9-9] Базаров И. П., Термодинамика, 2010, с. 157, 177, 349.

[_24098ac6b651fac3-10] Алмалиев А. Н. и др., Термодинамика и статистическая физика, 2004, с. 59.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]