Цепочка Тоды

Цепо́чка То́ды (англ. Toda's chain) — система дискретных нелинейных уравнений, описывающих динамику взаимосвязанных нелинейных осцилляторов. Имеет важное значение в теории колебаний кристаллических решёток.

Система в общем случае имеет вид:

$m{\ddot {r}}_{n}=2f(r_{n})-f(r_{n+1})-f(r_{n-1})$

где $r_{n}(t)$ имеет смысл величины отклонения n-го осциллятора от положения равновесия, а $f(r_{i})$ — нелинейная функция, имеющая смысл возвращающей силы, действующей на i-ый осциллятор. Точки означают взятие операции дифференцирования.

Впервые предложена и проанализирована для случая $f(t)=-\alpha (1-\exp(-\beta t))$ Морикадзу Тодой в 1967 году.

Эквивалентная форма

Уравнение цепочки Тоды удобно анализировать в эквивалентной форме следующего вида

${\dot {s}}_{n}=f(r_{n})$

$m{\dot {r}}_{n}=2s_{n}-s_{n+1}-s_{n-1}$

Решения

Можно показать, что уравнения, описывающие динамику цепочки Тоды, имеют решения в виде стационарных бегущих волн, имеющих вид

$s_{n}=S(\theta )=S(\omega t-pn)$

где функция $S(\theta )$ в случае, если $f(r_{i})=-\alpha (1-\exp(-\beta t))$, удовлетворяет уравнению

${\frac {m\omega ^{2}}{\beta }}{\frac {S''}{\alpha +\omega S'}}=S(\theta +p)+S(\theta -p)-S(\theta )$

Решение этого уравнения выражается через эллиптические функции Якоби:

$S(\theta )=bZ(2K\theta )$

где

$Z(\theta )=E(\theta )-\theta {\frac {E(K)}{K}}$ — дзета-функция Якоби, имеющая период 2K

$E(\zeta )=\int \limits _{0}^{\zeta }\mathrm {dn} ^{2}zdz$

Здесь K — полный эллиптический интеграл первого рода. Связь коэффициентов b и $\omega$ с параметрами $\alpha$, $\beta$ и m достаточно сложна, однако упрощается в предельных случаях.

Функция $r_{n}$ находится из соотношения

$-\alpha \left(1-e^{-\beta r_{n}}\right)={\dot {s}}_{n}=2K\omega b\left(\mathrm {dn} ^{2}2K\theta -{\frac {E}{K}}\right)$

Особым решением является уединённое локализованное решение солитонного типа. Оно может быть получено в пределе $K\to \infty$, при одновременном выполнении условий:

$2K\omega \to \Omega$

$2Kp\to P$

В этом случае эллиптические функции переходят в гиперболические, и решение принимает вид

$-\alpha \left(1-\beta e^{-r_{n}}\right)={\frac {m\Omega ^{2}}{\beta \cosh ^{2}\left[\Omega t-Pn\right]}}$

М. Тода в своих работах показал, что эти солитоны после взаимодействия друг с другом не изменяют первоначальную форму. Любое начальное распределение в процессе эволюции разделяется на множество солитонов. Точное решение этой задачи было получено методом обратной задачи рассеяния.

Литература

• Morikazu Toda. Studies of a non-linear lattice (англ.) // Physics Reports. — 1975. — Vol. 18, iss. 1. — P. 1—123.
• Дж. Уизем. Линейные и нелинейные волны. — Мир, 1977. — С. 584—588. — 622 с.