Фундаментальное решение

Эта статья — о фундаментальном решении уравнения в частных производных. О фундаментальном решении системы линейных уравнений см. Фундаментальная система решений.

Фундаментальное решение линейного дифференциального оператора L или, эквивалентно, соответствующего ему линейного уравнения в частных производных — математическое понятие, обобщающее идею функции Грина для дифференциальных операторов, без связи с какой-либо областью и граничными условиями.

Именно, фундаментальным решением дифференциального оператора L называется решение F (вообще говоря, принадлежащее классу обобщённых функций) линейного неоднородного уравнения

LF = δ(x),

где правая часть δ(x) — дельта-функция Дирака.

Исторически понятие фундаментального решения сначала возникло для оператора Лапласа в размерностях 2 и 3. В настоящее время фундаментальные решения вычислены для многих конкретных дифференциальных операторов и доказано, что каждый дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами имеет фундаментальное решение.

Свойства

• Фундаментальное решение оператора L, вообще говоря, не единственно. Оно определено с точностью до прибавления слагаемого Z, принадлежащего ядру оператора L: пусть F — решение уравнения LF = δ(x), тогда F+Z также является его решением, если LZ = 0.
• Решение неоднородного уравнения LU = g(x) с произвольной правой частью g выражается через фундаментальное решение оператора L с помощью свёртки по формуле U = F ∗ g. Это решение единственно в классе обобщённых функций, для которых существует свёртка с g.
• Функция F является фундаментальным решением линейного дифференциального оператора с постоянными коэффициентами

$L(\partial )=\sum _{|k|=0}^{m}a_{k}\partial _{x_{1}}^{k_{1}}\cdots \partial _{x_{n}}^{k_{n}},\quad k=(k_{1},\ldots ,k_{n}),$

если и только если её преобразование Фурье ${\widehat {F}}$ удовлетворяет равенству $L(-i\xi )\,{\widehat {F}}(\xi )=1,$ где

$L(\xi )=\sum _{|k|=0}^{m}a_{k}\xi _{1}^{k_{1}}\cdots \xi _{n}^{k_{n}},\quad \xi =(\xi _{1},\ldots ,\xi _{n}),$

i — мнимая единица.

Примеры

• Фундаментальное решение оператора Лапласа (нижний индекс обозначает размерность пространства) задается формулами, где $|x|^{2}=x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}$ — стандартный скалярный квадрат вектора $x\in \mathbb {R} ^{n}$:

$F_{2}(x)={\frac {1}{2\pi }}\ln |x|,\quad F_{3}(x)=-{\frac {1}{4\pi |x|}},\quad F_{n}(x)=-{\frac {1}{(n-2)s_{n}|x|^{n-2}}},\ \ n\geq 3,$

где $s_{n}$ означает площадь поверхности единичной сферы в n-мерном евклидовом пространстве.

• Фундаментальное решение уравнения теплопроводности имеет вид:

$\Phi (x,t)={\frac {\theta (t)}{(2a{\sqrt {\pi t}})^{n}}}\exp {\biggl (}\!-{\frac {|x|^{2}}{4a^{2}t}}\,{\biggr )},\ \ \ x\in \mathbb {R} ^{n},$

где $\theta (t)$ — функция Хевисайда.

• Фундаментальное решение бигармонического уравнения, то есть оператора $L=\Delta ^{2},$ имеет вид

$F_{2}(x)=-{\frac {|x|^{2}}{8\pi }}(\ln |x|-1),\quad F_{3}(x)={\frac {|x|}{8\pi }}~.$

Литература

• Владимиров В. С. Уравнения математической физики. — М:, Наука, 1985.
• Владимиров В. С., Жаринов В. В. Уравнения математической физики. — М:, Физматлит, 2004.