Фильтр Саллена — Ки

Фильтр Са́ллена — Ки — один из типов активных электронных фильтров 2-го порядка.

Реализуется в виде электронной схемы с двумя резисторами, двумя конденсаторами и активным элементом (например, с операционным усилителем), в совокупности образующих фильтр с передаточной функцией второго порядка. Фильтры более высокого порядка могут быть реализованы включением нескольких фильтров последовательно, причём для реализации фильтра с нечётным порядком в цепочку фильтров включают по крайней мере один фильтр 1-го порядка.

Описываемая схема также известна как VCVS-фильтр (англ. voltage-controlled voltage source) источник напряжения, управляемый напряжением — ИНУН. Иногда её называют «фильтром с многопетлевой обратной связью».

Назван в честь исследователей из Массачусетского технологического института Роя Саллена (англ. Roy Pines Sallen) и Эдвина Ки (англ. Edwin L. Key), предложивших структуру такого фильтра в 1955 году.

Для упрощения формул фильтры, описанные в этой статье, кроме полосового фильтра, имеют коэффициент усиления в полосе пропускания равный единице (0 дБ). Реальные фильтры Саллена — Ки могут иметь произвольный коэффициент усиления, задаваемый резистивным делителем напряжения в отрицательной обратной связи усилительного компонента, например, операционного усилителя (ОУ), как показано в схеме полосового фильтра.

Фильтр нижних частот

Вариант фильтра нижних частот с единичным усилением в полосе пропускания.

Операционный усилитель в данной схеме включён по схеме повторителя напряжения.

В общем случае частота среза $F_{c}$ и добротность фильтра $Q$ задаются следующими выражениями:

$F_{c}={\frac {1}{2\pi {\sqrt {R_{1}R_{2}C_{1}C_{2}}}}}$

$Q={\frac {\sqrt {R_{1}R_{2}C_{1}C_{2}}}{C_{2}(R_{1}+R_{2})}}$

К примеру, представленная на рисунке схема с указанными номиналами компонентов имеет частоту среза 15,9 кГц и добротность 0,5.

Передаточная функция фильтра:

$H(s)={\frac {1}{1+C_{2}(R_{1}+R_{2})s+C_{1}C_{2}R_{1}R_{2}s^{2}}},$

где $s$ — оператор Лапласа.

При формальной замене $s=j\omega$ получаем комплексную передаточную характеристику в виде:

$H(\omega )={\frac {1}{1+jC_{2}(R_{1}+R_{2})\omega -C_{1}C_{2}R_{1}R_{2}\omega ^{2}}}.$

Фильтр верхних частот

Вариант фильтра верхних частот с частотой среза в 72 Гц и добротностью 0,5.

Соответствующие выражение для частоты среза:

$F_{c}={\frac {1}{2\pi {\sqrt {R_{1}R_{2}C_{1}C_{2}}}}}$

и добротности:

$Q={\frac {R_{2}C_{x}}{\sqrt {R_{1}R_{2}C_{1}C_{2}}}}$,

где

$C_{x}=C_{1}\|C_{2}={\frac {C_{1}C_{2}}{C_{1}+C_{2}}}$.

Полосовой фильтр

Вариант полосового фильтра.

Резонансная частота:

$F_{c}={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {R_{f}+R_{1}}{C_{1}C_{2}R_{1}R_{2}R_{f}}}}$

Делитель напряжений в обратной связи задаёт коэффициент передачи фильтра на резонансной частоте. ОУ включён по схеме неинвертирующего усилителя и его собственный коэффициент усиления $G$ выражается:

$G=1+{\frac {R_{b}}{R_{a}}}$,

и усиление этого полосового фильтра на резонансной частоте:

$A={\frac {G}{3-G}}$.

Важно заметить, что коэффициент $G$ не должен превышать 3, в противном случае фильтр потеряет устойчивость и будет генерировать колебания.

Ограничения

Фильтры со структурой Саллена — Ки порядка более двух неприменимы из-за потери устойчивости. Обойти данное ограничение позволяет последовательное соединение нескольких активных фильтров второго порядка.

Ссылки

• Analog Devices Мастер расчёта активных фильтров (рус.)
• Фильтруй сигнал!