Добротность

Добро́тность — параметр колебательной системы, определяющий ширину резонанса и характеризующий, во сколько раз запасы энергии в системе больше, чем потери энергии за время изменения фазы на 1 радиан. Обозначается символом $Q$ от англ. quality factor.

Добротность обратно пропорциональна скорости затухания собственных колебаний в системе. То есть, чем выше добротность колебательной системы, тем меньше потери энергии за каждый период и тем медленнее затухают колебания.

Теория

Общая формула для добротности любой колебательной системы:

$Q={\frac {\omega _{0}W}{P_{d}}}={\frac {2\pi f_{0}W}{P_{d}}}$,

где

• $\omega _{0}$ — резонансная круговая частота колебаний
• $f_{0}$ — резонансная частота колебаний
• $W$ — энергия, запасённая в колебательной системе
• $P_{d}$ — рассеиваемая мощность.

Например, в электрической резонансной цепи энергия рассеивается из-за конечного сопротивления цепи, в кварцевом кристалле затухание колебаний обусловлено внутренним трением в кристалле, в объемных электромагнитных резонаторах теряется в стенках резонатора, в его материале и в элементах связи, в оптических резонаторах — на зеркалах.

Для последовательного колебательного контура в RLC-цепях, в котором все три элемента включены последовательно:

$Q={\frac {1}{R}}{\sqrt {\frac {L}{C}}}={\frac {\omega _{0}L}{R}},$

где R, L и C — сопротивление, индуктивность и ёмкость резонансной цепи, соответственно, а $\omega _{0}$ — частота резонанса. Выражение ${\sqrt {L/C}}$ часто называют характеристическим или волновым сопротивлением колебательного контура. Таким образом, добротность в колебательном контуре равна отношению волнового сопротивления к активному.

Для параллельного контура, в котором индуктивность, ёмкость и сопротивление включены параллельно:

$Q=R{\sqrt {\frac {C}{L}}}={\frac {R}{\omega _{0}L}}$

Формулировка частотного отклика или ширины полосы пропускания колебательной системы

ЛАФЧХ колебательных звеньев с разной добротностью

В данном случае R является входным сопротивлением параллельного контура. Однако практически для электрической цепи гораздо проще измерить ток или напряжение, чем энергию или мощность. Поскольку мощность и энергия пропорциональны квадрату амплитуды колебаний, ширина полосы частот на АЧХ определяется на высоте $1/{\sqrt {2}}$ от высоты максимума (примерно −3 дБ). Поэтому чаще используется другое эквивалентное определение добротности, которое связывает ширину амплитудной резонансной кривой $\Delta \omega$ по уровню $1/{\sqrt {2}}$ с круговой частотой резонанса $\omega _{0}=2\pi f_{0}:$

$Q={\frac {\omega _{0}}{\Delta \omega }}={\frac {\pi }{\delta }}=\pi N_{e},$

где δ — логарифмический декремент колебаний, равный отношению полуширины резонансной кривой к частоте резонанса, $N_{e}$ — число колебаний за время релаксации.

Для электрически малых антенн добротность можно определить соотношением:

$Q={\frac {\omega _{0}[W_{e}+W_{m}]}{P}}$,

где

• $\omega _{0}$ — резонансная круговая частота электромагнитных колебаний
• $W_{e}$ — энергия электрического поля, запасённая в антенне
• $W_{m}$ — энергия магнитного поля, запасённая в антенне
• $P$ — рассеиваемая антенной мощность.

Метрологические аспекты

Для измерения электрической добротности на частотах до десятков и сотен мегагерц применяют измеритель добротности или измеритель иммитанса (косвенным способом), в диапазоне СВЧ применяются специальные методы.

См. также

Измеритель добротности

Литература

• Бидерман В. Л. Теория механических колебаний. — Высшая школа, 1980. — 408 с. — 10 000 экз.
• Горелик Г. С. Колебания и волны. — М.: ГИФМЛ, 1959. — 572 с.

Ссылки

• ГПЭ единицы электрической добротности  (неопр.). ФГУП «СНИИМ». Дата обращения: 12 февраля 2015.