Фильтр Габора

Фильтр Габора — линейный электронный фильтр, импульсная переходная характеристика которого определяется в виде гармонической функции, помноженной на гауссиан. При цифровой обработке изображений этот фильтр применяется для распознавания границ объектов.

Пример двумерного фильтра Габора

Из-за свойства соответствия свёртки во временной области умножению в частотной области, преобразование Фурье импульсной передаточной характеристики фильтра Габора является свёрткой преобразований Фурье гармонической функции и гауссиана.

$g(x,y;\lambda ,\theta ,\psi ,\sigma ,\gamma )=\exp \left(-{\frac {x'^{2}+\gamma ^{2}y'^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\cos(2\pi {\frac {x'}{\lambda }}+\psi )$

где $x'=x\cos \theta +y\sin \theta \,,$ $y'=-x\sin \theta +y\cos \theta \,.$

В этом уравнении $\lambda$ представляет собой длину волны множителя-косинуса, $\theta$ определяет ориентацию нормали параллельных полос функции Габора в градусах, $\psi$ — сдвиг фаз в градусах и $\gamma$ — коэффициент сжатия, характеризующий эллиптичность функции Габора.

Фильтры Габора напрямую связаны с вейвлетами Габора, так как они могут быть сконструированы путём ряда сжатий и вращений. Пространство Габора (свёртка фильтра с сигналом) часто применяется в различных приложениях обработки изображений, в частности, для распознавания радужной оболочки в биометрических системах безопасности и в автоматизированных системах контроля доступа на основании распознавания отпечатков пальцев.

Алгоритм построения одномерного фильтра Габора

Для построения одномерного фильтра Габора применяется формула:
$G(x)=\exp \left(-{\frac {x^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\cos(2\pi \theta x)$,

где:

• $\sigma$ — стандартное отклонение Гаусового ядра, определяющее амплитуду функции;
• $\theta$ — частота колебаний, определяемая как $\theta ={\frac {1}{T}}$, где:
• $T$ — период функции $\cos(2\pi \theta x)$.

Чем больше $\sigma$, тем более пологий вид примет функция. Чем меньше $\sigma$, тем более острый пик получится в результате построения графика функции.

Приведённая выше функция экспоненты обладает свойствами нормального распределения случайной величины. Согласно правилу трёх сигм, практически все значения экспоненты лежат в интервале $[-3\sigma ;3\sigma ]$. Для анализа сигналов, значения функции рассчитываются в указанных пределах.

• 
  Косинус, экспонента и их композиция в функцию Габора
• 
  Зависимость функции $G(x)$ от $\sigma$
• 
  Зависимость функции $G(x)$ от $\theta$

Обработка одномерного сигнала фильтром Габора

Каждая точка входного сигнала $F(x)$ преобразуется в соответствующую точку выходного сигнала $F^{'}(x)$, путём усреднения значений входного сигнала $F(t)$ по области $t\in [x-{\frac {n}{2}},x+{\frac {n}{2}}]$, с учётом весовых коэффициентов $G(i)$ формулы Габора.

$F^{'}(x)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}F(x-{\frac {n}{2}}+i)\cdot G(i)$

где:

$F(x)$ — входное значение сигнала в точке $x$,

$F^{'}(x)$ — выходное значение сигнала в точке $x$,

$G(i)$ — значение функции Габора, $i\in [0,n]$.

Алгоритм построения двумерного фильтра Габора

Двумерная функция Габора

Для построения двумерного фильтра Габора применяется формула:

$G(x,y)=\exp \left(-{\frac {1}{2}}\left[{\frac {x_{\phi }^{2}}{\sigma _{x}^{2}}}+{\frac {y_{\phi }^{2}}{\sigma _{y}^{2}}}\right]\right)\cos(2\pi \theta x_{\phi })$

$x_{\phi }=x\cos(\phi )+y\sin(\phi )$

$y_{\phi }=-x\sin(\phi )+y\cos(\phi )$

где:

$\sigma _{x},\sigma _{y}$ — стандартные отклонения гауссова ядра, по осям $x$ и $y$, определяющие растянутость фильтра по осям,

$\theta$ — частотная модуляция фильтра,

$\phi$ — пространственная направленность фильтра, определяющая его ориентацию относительно главных осей.

Обработка двумерного изображения фильтром Габора

Исходное дактилоскопическое изображение

Дактилоскопическое изображение, обработанное фильтром Габора

Обработка изображения фильтром Габора достигается путём усреднения значений обрабатываемого изображения по некоторой области в каждой точке. Соответственно, наложение фильтра Габора на изображение имеет вид:
$I^{'}(x,y)={\frac {1}{n^{2}}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}I(x-{\frac {n}{2}}+i,y-{\frac {n}{2}}+j)\cdot G(i,j)$
где:
$I(x,y)$ — интенсивность исходного изображения в точке $(x,y)$,
$I^{'}(x,y)$ — интенсивность нового изображения в точке $(x,y)$,
$G(i,j)$ — значение функции Габора, $i\in [0,n],j\in [0,n]$.
Если отбросить синусоидальную составляющую функции в фильтре Габора, он выродится в фильтр Гауссова размытия (Gaussian Blur). Поэтому очевидно, что эти два фильтра имеют практически одинаковый алгоритм применения, различающийся в некоторых деталях.
Из формулы Габора видно, что фильтр зависит от частоты и направления квазипериодической структуры изображения. Поэтому перед применением фильтра необходимо построить частотное и ориентационное поля для текущего изображения. Обычно для упрощения задачи рассчитывается средняя частота изображения, которая считается неизменной в каждой точке.
Для построения поля направлений может применяться несколько способов, наиболее быстрым из которых является дифференциальный метод, позволяющий построить четырёхградационное поле направлений.
Таким образом, имея частоту и 4 направления, предварительно строятся 4 фильтра Габора, по одному на каждое направление. После чего в каждой точке изображения происходит свертка фильтра с изображением по определённой области, что дает выходное значение нового изображения.
Фильтр Габора эффективен при обработке изображений со структурной избыточностью, имеющих квазипериодическую структуру. К ним относятся дактилоскопические изображения, изображения кристаллограмм и интерферрограмм. В живой природе подобный окрас нередко встречается у зебр, различных кошачьих (тигры, рыси, дымчатые коты), птиц (тетерева), рыб (лепоринус полосатый) и прочих представителей флоры и фауны.

Пример реализации

Вот пример реализации фильтра Габора для пакета Matlab:

function gb = gabor_fn(sigma_x, theta, lambda, psi, gamma)

sz_x = fix(6 * sigma_x);                    % исходя из значения сигмы получили размер ядра
sz_x = sz_x - mod(sz_x,2) + 1;              % если четное - делаем нечетным

sz_y = fix(6 * sigma_x / gamma);            % исходя из значения сигмы и коэф. сжатия получили второй размер ядра
sz_y = sz_y - mod(sz_y,2) + 1;              % если четное - делаем нечетным

[x y] = meshgrid(-fix(sz_x/2):fix(sz_x/2), fix(-sz_y/2):fix(sz_y/2));   % задали область определения

% Поворот
x_theta = x*cos(theta) + y*sin(theta);
y_theta = -x*sin(theta) + y*cos(theta);

gb = exp(-.5 * (x_theta.^2/sigma_x^2 + gamma^2*y_theta.^2/sigma_x^2))* cos(2 * pi* x_theta./lambda  + psi); % ядро

См. также

• Преобразование Габора
• Денеш Габор

Литература

• Сойфер В.А. Методы компьютерной обработки изображений. — Физматлит, 2003. — С. 459.
• Храмов, А. Г. Методы восстановления интерферрограмм на ЭВМ. — КуАИ, 1988. — С. 88.