Импульсная переходная функция

Импульсная переходная функция (весовая функция, импульсная характеристика) — выходной сигнал динамической системы как реакция на входной сигнал в виде дельта-функции Дирака. В цифровых системах входной сигнал представляет собой простой импульс минимальной ширины (равной периоду дискретизации для дискретных систем) и максимальной амплитуды. В применении к фильтрации сигнала называется также ядром фильтра. Находит широкое применение в теории управления, обработке сигналов и изображений, теории связи и других областях инженерного дела.

Определение

Импульсной характеристикой системы называется её реакция на единичный импульс при нулевых начальных условиях.

Свойства

Выходной сигнал линейной системы может быть получен как свертка его входного сигнала $x(t)$ и импульсной характеристики системы $h(t)$:

$y(t)=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }h(\tau )x(t-\tau )d\tau$,

либо, в случае цифровой системы

$y[n]=\sum \limits _{k=0}^{n}h[k]x[n-k],n=0,1,2,...$.

Для того чтобы система была физически реализуема в реальном времени, её импульсная переходная функция должна удовлетворять условию: $h(t)=0$ при $t<0.$ В противном случае система нереализуема, поскольку отклик на выходе системы не может появиться раньше, чем поступающее на вход системы воздействие, вызывающее отклик (см. статью физически реализуемая система).

Применение

Восстановление частотной характеристики

Важным свойством импульсной характеристики является тот факт, что на её основе может быть получена комплексная частотная характеристика, определяемая как отношение комплексного спектра сигнала на выходе системы к комплексному спектру входного сигнала.

Комплексная частотная характеристика (КЧХ) является аналитическим выражением комплексной функции. КЧХ строится на комплексной плоскости и представляет собой кривую траектории конца вектора в рабочем диапазоне изменения частот, называемую годографом КЧХ. Для построения КЧХ обычно требуется 5-8 точек в рабочем диапазоне частот: от минимально реализуемой частоты до частоты среза (частоты окончания эксперимента). КЧХ, так же, как и временная характеристика будет давать полную информацию о свойствах линейных динамических систем.

Частотная характеристика фильтра определяется как преобразование Фурье (дискретное преобразование Фурье в случае цифрового сигнала) от импульсной характеристики.

$H(j\omega )=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }h(\tau )e^{-j\omega \tau }\,d\tau$

Цифровая фильтрация

Импульсная переходная функция системы рассматривается только для дискретных сигналов, если же сигналы непрерывные, то фиксируются их значения только для дискретных моментов времени, кратных периоду прерывания сигнала в системе.

Фильтр с характеристикой типа «приподнятый косинус» (ФПК) — особый электронный фильтр, часто встречающийся в телекоммуникационных системах благодаря возможности минимизировать межсимвольные искажения.

Импульсный отклик такого фильтра описывается следующей формулой:

$h(t)=\mathrm {sinc} \left({\frac {t}{T}}\right){\frac {\cos \left({\frac {\pi \beta t}{T}}\right)}{1-{\frac {4\beta ^{2}t^{2}}{T^{2}}}}}$, в выражении через sinc функцию.

См. также

• Переходный процесс
• Переходная функция
• Передаточная функция