Уравнения Эйнштейна

Уравне́ния Эйнште́йна (иногда Эйнштейна — Гильберта^[1]) — уравнения гравитационного поля, лежащие в основе общей теории относительности, связывающие между собой компоненты метрического тензора $g_{\mu \nu }$ искривлённого пространства-времени с компонентами тензора энергии-импульса материи, заполняющей пространство-время. Термин используется и в единственном числе: «уравне́ние Эйнште́йна», так как в тензорной записи это одно уравнение, хотя в компонентах представляет собой систему нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных.

Выглядят уравнения следующим образом:

R_{\mu \nu }-{R \over 2}g_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }={8\pi G \over c^{4}}T_{\mu \nu },

где $R_{\mu \nu }$ — тензор Риччи, выражающийся через частные производные от метрического тензора и получающийся из тензора кривизны Римана пространства-времени $R_{\mu \nu \lambda \kappa }$ посредством свёртки его по верхнему и среднему нижнему индексу, $R_{\mu \nu }=R_{\mu \lambda \nu }^{\lambda }$ ;

R — скалярная кривизна, то есть свёрнутый с метрическим тензором тензор Риччи

R=g^{\mu \nu }R_{\mu \nu }

,

g_{\mu \nu }

— метрический тензор,

\Lambda

— космологическая постоянная,

T_{\mu \nu }

— тензор энергии-импульса материи,

π — число пи,

c — скорость света в вакууме,

G — гравитационная постоянная Ньютона.

Уравнение связывает между собой тензоры 4×4, то есть, формально говоря, содержит 16 скалярных уравнений. Однако, так как все входящие в уравнения тензоры симметричны, то в четырёхмерном пространстве-времени эти уравнения равносильны 4·(4+1)/2=10 скалярным уравнениям. Тождества Бьянки приводят к уменьшению числа независимых уравнений с 10 до 6.

В более краткой записи вид уравнений таков:

G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }={8\pi G \over c^{4}}T_{\mu \nu },

где $G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-{R \over 2}g_{\mu \nu }$ — тензор Эйнштейна, который объединяет тензор Риччи, скалярную кривизну и метрический тензор. Тензор Эйнштейна может быть представлен как функция метрического тензора и его частных производных.

Часто лямбда-член Λ в записи уравнений Эйнштейна принимается равным нулю, поскольку в задачах локальных масштабов, далёких от космологических, он, как правило, мал. Тогда запись ещё более упрощается:

G_{\mu \nu }={8\pi G \over c^{4}}T_{\mu \nu }.

Наконец, при часто использующемся выборе единиц физических величин таким образом, чтобы скорость света и гравитационная постоянная равнялись безразмерной единице, c = G = 1 (т. н. геометризованная система единиц), запись уравнений Эйнштейна становится наиболее простой; в бескомпонентной форме:

\mathbf {G} =8\pi \mathbf {T} .

Таким образом, уравнение Эйнштейна связывает геометрические свойства пространства-времени (левая часть уравнения, тензор Эйнштейна) с материей и её движением (правая часть, тензор энергии-импульса). Суть уравнений Эйнштейна можно сформулировать таким образом: пространство-время указывает материи, как ей двигаться, а материя указывает пространству-времени, как ему искривляться.

Одним из существенных свойств уравнений Эйнштейна является их нелинейность относительно компонент метрического тензора, приводящая к сложностям при попытках квантования уравнений гравитационного поля.

Исторический очерк

Работа Альберта Эйнштейна над теорией гравитации (общей теорией относительности), в одиночку и в соавторстве с рядом людей, длилась с 1907 года по 1917 год. В середине этих усилий Эйнштейн понимает, что роль гравитационного потенциала должен играть псевдо-риманов метрический тензор на четырёхмерном пространстве-времени, а уравнение гравитационного поля должно быть тензорным, включающим тензор римановой кривизны и тензор энергии-импульса в качестве источника поля, сводясь в пределе малых энергий и стационарных полей к уравнению Пуассона ньютоновской теории гравитации. Затем, в 1913 году вместе с Гроссманом получает первый вариант таких уравнений (уравнения Эйнштейна — Гроссмана), совпадающий с правильным только для отсутствия вещества (или для вещества с бесследовым тензором энергии-импульса).

Летом 1915 года Эйнштейн приехал в Гёттингенский университет, где прочитал ведущим математикам того времени, в числе которых был и Гильберт, лекции о важности построения физической теории гравитации и имевшихся к тому времени у него наиболее перспективных подходах к решению проблемы и её трудностях. Между Эйнштейном и Гильбертом завязалась переписка с обсуждением данной темы, которая значительно ускорила завершение работы по выводу окончательных уравнений поля. До недавнего времени считалось, что Гильберт получил эти уравнения на 5 дней раньше, но опубликовал позже: Эйнштейн представил в Берлинскую академию свою работу, содержащую правильный вариант уравнений, 25 ноября, а заметка Гильберта «Основания физики» была озвучена 20 ноября 1915 года на докладе в Гёттингенском математическом обществе и передана Королевскому научному обществу в Гёттингене, за 5 дней до Эйнштейна (опубликована в 1916 году). Однако в 1997 году была обнаружена корректура статьи Гильберта от 6 декабря, из которой видно, что Гильберт выписал уравнения поля в классическом виде не на 5 дней раньше, а на 4 месяца позже Эйнштейна^[2]. В ходе завершающей правки Гильберт также вставил в свою статью ссылки на параллельную декабрьскую работу Эйнштейна^[1].

Сначала уравнения Эйнштейна решались приближённо, в частности, из них были выведены как классическая теория Ньютона, так и поправки к ней. Первые точные решения были получены Шварцшильдом для центрально-симметричного случая. Ряд решений был вскоре выведен в рамках релятивистской космологии.

Решения

Решить уравнение Эйнштейна — значит найти вид метрического тензора $g_{\mu \nu }$ пространства-времени. Задача ставится заданием граничных условий, координатных условий и написанием тензора энергии-импульса T_μν, который может описывать как точечный массивный объект, распределённую материю или энергию, так и всю Вселенную целиком. В зависимости от вида тензора энергии-импульса решения уравнения Эйнштейна можно разделить на вакуумные, полевые, распределённые, космологические и волновые. Существуют также чисто математические классификации решений, основанные на топологических или алгебраических свойствах описываемого ими пространства-времени, или, например, на алгебраической симметрии тензора Вейля данного пространства (классификация Петрова).

См. также

Примечания

↑ ¹ ² О вкладе Гильберта и Эйнштейна в открытие этих уравнений — см. подробности в статье: Эйнштейн, Альберт#Гильберт и уравнения гравитационного поля.
↑ Визгин В. П. Об открытии уравнений гравитационного поля Эйнштейном и Гильбертом (новые материалы) Архивная копия от 27 октября 2020 на Wayback Machine. УФН, Том 171 № 12 (2001), стр. 1347—1363.

Литература

Альберт Эйнштейн и теория гравитации. Сборник статей. — М.: Мир, 1979.
Вейнберг С. Гравитация и космология = Gravitation and Cosmology. — М.: Мир, 1975. — 695 с.
Визгин В. П. Релятивистская теория тяготения (истоки и формирование 1900—1915). — М.: Наука, 1981.
Крамер Д. и др. Точные решения уравнений Эйнштейна. — М.: Мир, 1982. — 416 с.
Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля. — Издание 7-е, исправленное. — М.: Наука, 1988. — 512 с. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-02-014420-7.
Паули В. Теория относительности. — М.: Наука, 1991.

[E-1] ¹ ² О вкладе Гильберта и Эйнштейна в открытие этих уравнений — см. подробности в статье: Эйнштейн, Альберт#Гильберт и уравнения гравитационного поля.

[2] Визгин В. П. Об открытии уравнений гравитационного поля Эйнштейном и Гильбертом (новые материалы) Архивная копия от 27 октября 2020 на Wayback Machine. УФН, Том 171 № 12 (2001), стр. 1347—1363.

[1]

[2]