Математическая формулировка общей теории относительности

В этой статье рассматривается математический базис общей теории относительности.

Исходные положения

Наше интуитивное восприятие указывает нам, что пространство-время является регулярным и непрерывным, то есть не имеет «дыр». Математически эти свойства обозначают, что пространство-время будет моделироваться гладким дифференцируемым многообразием 4 измерений $M_{4}$, то есть пространством размерности 4, для которого окрестность каждой точки походит локально на четырёхмерное евклидово пространство. Гладкость здесь означает достаточную дифференцируемость, пока без уточнения её степени.

Так как кроме того с хорошей точностью выполняются законы специальной теории относительности, то такое многообразие можно наделить лоренцевой метрикой, то есть невырожденным метрическим тензором с сигнатурой $\{-,+,+,+\}$ (или, что эквивалентно, $\{+,-,-,-\}$). Значение этого раскрывается в следующем разделе.

Геометрия пространства-времени

NB Эта статья следует классическим соглашениям знаков Мизнера, Торна и Уилера

В этой статье принимается также соглашение Эйнштейна для суммирования по повторяющимся индексам.

Метрический тензор

Дифференцируемое многообразие M, снабжённое лоренцевым метрическим тензором g, и представляет собой таким образом Лоренцево многообразие, которое составляет частный случай псевдориманова многообразия (определение «лоренцев» будет уточнено дальше в тексте; см. ниже раздел Лоренцева метрика).

Возьмём какую-нибудь систему координат $x^{\mu }$ в окрестности точки $P$, и пусть ${\mathbf {e} }_{\mu }(x)$ — локальный базис в касательном пространстве $T_{x}M$ к многообразию $M$ в точке $x\in M$. Касательный вектор $\mathbf {w} \in T_{x}M$ запишется тогда как линейная комбинация базисных векторов:

$\mathbf {w} \ =\ w^{\mu }\ \mathbf {e} _{\mu }.$

При этом величины $\ w^{\mu }$ называются контравариантными компонентами вектора w. Метрический тензор $\mathbf {g}$ тогда — симметричная билинейная форма:

$\mathbf {g} \ =\ g_{\mu \nu }(x)\ dx^{\mu }\ \otimes \ dx^{\nu },$

где через $dx^{\mu }$ обозначен дуальный по отношению к ${\mathbf {e} }_{\mu }(x)$ базис в кокасательном пространстве $T_{x}^{*}M$, то есть такие линейные формы на $T_{x}M$, что:

$dx^{\nu }({\mathbf {e} }_{\mu })\ =\ \delta _{\mu }^{\nu }.$

Далее будем предполагать, что компоненты $g_{\mu \nu }(x)$ метрического тензора меняются в пространстве-времени непрерывно.

Метрический тензор, таким образом, может быть представлен действительной симметричной матрицей 4x4:

$g_{\mu \nu }\ =\ g_{\nu \mu }.$

Вообще любая действительная матрица 4x4 имеет априори 4 x 4 = 16 независимых элементов. Условие симметрии уменьшает это число до 10: на самом деле, остаётся 4 диагональных элемента, к которым надо добавить (16 — 4)/2 = 6 недиагональных элементов. Тензор $g_{\mu \nu }$ обладает, таким образом, только 10 независимыми компонентами.

Скалярное произведение

Метрический тензор определяет для каждой точки $x\in M$ многообразия псевдо-скалярное произведение («псевдо-» в том смысле, что отсутствует положительная определённость ассоциированной квадратичной формы (квадрата вектора); см. Лоренцева метрика) в касательном к многообразию $M^{}$ в точке $x$ псевдоевклидовом пространстве $T_{x}M$. Если $\mathbf {u}$ и $\mathbf {v}$ — два вектора $T_{x}M$, их скалярное произведение запишется как:

$\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} \ =\ \mathbf {g} (\mathbf {u} ,\mathbf {v} )\ =\ g_{\mu \nu }\ u^{\mu }\ v^{\nu }$

В частности, взяв два базисных вектора, получаем компоненты:

$g_{\mu \nu }\ =\ \mathbf {g} ({\mathbf {e} }_{\mu },{\mathbf {e} }_{\nu })\ =\ {\mathbf {e} }_{\mu }\cdot {\mathbf {e} }_{\nu }$

Замечание: если величины $w^{\mu }$ обозначают контравариантные компоненты вектора w, то можно определить также его ковариантные компоненты как:

$w_{\mu }\ =\ \mathbf {w} \ \cdot \mathbf {e} _{\mu }.$

Элементарное расстояние — интервал

Рассмотрим вектор элементарного перемещения $d\mathbf {P} \ =\ \epsilon ^{\mu }\mathbf {e} _{\mu }$ между точкой $P^{}$ и бесконечно близкой точкой: $|\epsilon ^{\mu }|\ll 1$. Инвариантной инфинитезимальной нормой этого вектора будет действительное число, обозначаемое $ds^{2}$, называемое квадратом интервала, и равное:

$ds^{2}\ =\ g_{\mu \nu }(x)\ \epsilon ^{\mu }\ \epsilon ^{\nu }$.

Если обозначить компоненты вектора элементарного перемещения «по-физически» $\epsilon ^{\mu }=dx^{\mu }$, инфинитезимальный квадрат длины (интервала) запишется формально как:

$ds^{2}\ =\ g_{\mu \nu }(x)\ dx^{\mu }\ dx^{\nu }$

Внимание: в этой формуле, а также и далее, $dx^{\mu }$ представляет собой действительное число, которое интерпретируется физически как «инфинитезимальное изменение» координаты $x^{\mu }$, а не как дифференциальная форма!

Лоренцева метрика

Уточним теперь выражение «лоренцева» (точнее локально лоренцева), которое означает, что метрический тензор имеет сигнатуру (1,3) и локально совпадает в первом порядке с лоренцевой метрикой специальной теории относительности. Принцип эквивалентности утверждает, что можно «стереть» локально поле гравитации, выбирая локально инерциальную систему координат. С математической точки зрения такой выбор является переформулировкой известной теоремы о возможности приведения квадратичной формы к главным осям.

В такой локально инерциальной системе координат $X^{\alpha }$ инвариант $ds^{2}$ в точке $P$ запишется как:

$ds^{2}\ =\ \eta _{\alpha \beta }\ dX^{\alpha }\ dX^{\beta }\ =\ -\ c^{2}\,dT^{2}\,+\,dX^{2}\,+\,dY^{2}\,+\,dZ^{2},$

где $\eta _{\alpha \beta }$ является метрикой пространства-времени Минковского, а в малой окрестности этой точки

$ds^{2}\ =\ (\eta _{\alpha \beta }+\delta _{\alpha \beta })\ dX^{\alpha }\ dX^{\beta },$

где $\delta _{\alpha \beta }$ имеет минимум второй порядок малости по отклонениям координат от точки $P$, то есть $\delta _{\alpha \beta }|_{P}=0,\ \left.{\frac {\partial \delta _{\alpha \beta }}{\partial X^{\alpha }}}\right|_{P}=0$. Принимая соглашение знаков Мизнера, Торна и Уилера, имеем:

$\eta _{\alpha \beta }\ =\ \mathrm {diag} \ (-1,\,+1,\,+1,\,+1\,)$

Далее используются следующие обычные соглашения:

• греческие индексы меняются от 0 до 3. Они соответствуют величинам в пространстве-времени.
• латинские индексы меняются от 1 до 3. Они соответствуют пространственным составляющим величин в пространстве-времени.

Например, 4-вектор положения запишется в локально инерциальной системе координат как:

$X^{\alpha }\ =\ \left({\begin{matrix}X^{0}\\X^{i}\end{matrix}}\right)\ =\ \left({\begin{matrix}X^{0}\\X^{1}\\X^{2}\\X^{3}\end{matrix}}\right)\ =\ \left({\begin{matrix}c\,T\\X\\Y\\Z\end{matrix}}\right).$

Внимание: на самом деле конечные, а не инфинитезимальные приращения координат не образуют вектора. Вектор из них возникает лишь в однородном пространстве нулевой кривизны и тривиальной топологии.

Лоренцев характер многообразия $M^{}$ обеспечивает, таким образом, то, что касательные к $M^{}$ в каждой точке псевдоевклидова пространства будут обладать псевдоскалярными произведениями («псевдо-» в том смысле, что отсутствует положительная определённость ассоциированной квадратичной формы (квадрата вектора)) с тремя строго положительными собственными значениями (соответствующими пространству) и одним строго отрицательным собственным значением (соответствующим времени). В частности, элементарный интервал «собственного времени», отделяющий два последовательных события, всегда:

$d\tau ^{2}\ =\ -{\frac {ds^{2}}{c^{2}}}\ >\ 0.$

Общие понятия аффинной связности и ковариантной производной

Обобщенно, аффинной связностью называется оператор $\nabla$, который приводит в соответствие векторному полю $\mathbf {V}$ из касательного пучка $TM$ поле эндоморфизмов $\nabla \mathbf {V}$ этого пучка. Если ${\mathbf {w} }\in T_{x}M$ — касательный вектор в точке $x\in M$, обычно обозначают

$\nabla _{\mathbf {w} }\ \mathbf {V} (x)\ =\ \nabla \mathbf {V} (x,\mathbf {w} ).$

Говорят, что $\nabla _{\mathbf {w} }\mathbf {V}$ является «ковариантной производной» вектора $\mathbf {V}$ в направлении ${\mathbf {w} }$. Предположим к тому же, что $\nabla \mathbf {V}$ удовлетворяет дополнительному условию: для любой функции f справедливо

$\nabla _{\mathbf {w} }(f\mathbf {V} )\ =\ f\ \nabla _{\mathbf {w} }\mathbf {V} \ +\ df(\mathbf {w} )\ \mathbf {V}$

Ковариантная производная удовлетворяет следующим двум свойствам линейности:

• линейность по w, то есть, какими бы ни были поля векторов w и u и действительные числа a и b, мы имеем:

$\nabla _{(a\mathbf {w} +b\mathbf {u} )}\mathbf {V} \ =\ a\ \nabla _{\mathbf {w} }\mathbf {V} \ +\ b\ \nabla _{\mathbf {u} }\mathbf {V} .$

• линейность по V, то есть, какими бы ни были поля векторов X и Y и действительные числа a и b, мы имеем:

$\nabla _{\mathbf {w} }(a\mathbf {X} +b\mathbf {Y} )\ =\ a\ \nabla _{\mathbf {w} }\mathbf {X} \ +b\ \nabla _{\mathbf {w} }\mathbf {Y} .$

Как только ковариантная производная определена для полей векторов, она может быть распространена на тензорные поля с использованием правила Лейбница: если $\mathbf {T}$ и $\mathbf {S}$ — два любых тензора, то по определению:

$\nabla _{\mathbf {w} }(\mathbf {T} \otimes \mathbf {S} )\ =\ (\nabla _{\mathbf {w} }\mathbf {T} )\otimes \mathbf {S} \ +\ \mathbf {T} \otimes (\nabla _{\mathbf {w} }\mathbf {S} )$

Ковариантная производная поля тензора вдоль вектора w есть снова поле тензора того же типа.

Связность, ассоциированная с метрикой

Можно доказать, что связность, ассоциированная с метрикой — связность Леви-Чивиты [1], является единственной связностью, помимо предыдущих условий дополнительно обеспечивающей то, что для любых полей векторов X, Y, Z из TM

• $\nabla _{\mathbf {X} }(\mathbf {g} (\mathbf {Y} ,\mathbf {Z} ))\ =\ \mathbf {g} (\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {Y} ,\mathbf {Z} )\ +\ \mathbf {g} (\mathbf {Y} ,\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {Z} )$ (метричность — тензор неметричности равен нулю).

• $\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {Y} \ -\ \nabla _{\mathbf {Y} }\mathbf {X} \ =\ [\mathbf {X} ,\mathbf {Y} ]$, где $[\mathbf {X} ,\mathbf {Y} ]$ — коммутатор Ли от X и Y (отсутствие кручения — тензор кручения равен нулю).

Описание в координатах

Ковариантная производная вектора есть вектор, и, таким образом, она может быть выражена как линейная комбинация всех базисных векторов:

$\nabla _{\mathbf {w} }V\ =\ \left[\,\nabla _{\mathbf {w} }V\,\right]^{\rho }\ \mathbf {e} _{\rho }\ =\ \Gamma ^{\rho }\ \mathbf {e} _{\rho },$

где $\Gamma ^{\rho }$ представляют собой компоненты вектора ковариантной производной в направлении $\mathbf {e} _{\rho }$ (эта составляющая зависит от выбранного вектора w).

Чтобы описать ковариантную производную, достаточно описать её для каждого из базисных векторов $\mathbf {e} _{\nu }$ вдоль направления $\mathbf {e} _{\mu }$. Определим тогда символы Кристоффеля (или просто кристоффели) $\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \nu },$ зависящие от 3 индексов

$\nabla _{\mu }{\mathbf {e} }_{\nu }\ =\ \nabla _{{\mathbf {e} }_{\mu }}{\mathbf {e} }_{\nu }\ =\ \Gamma ^{\rho }{}_{\mu \nu }\ {\mathbf {e} }_{\rho }$

Связность Леви-Чивиты полностью характеризуется своими символами Кристоффеля. Согласно общей формуле

$\nabla _{\mathbf {w} }(f\mathbf {V} )\ =\ f\ \nabla _{\mathbf {w} }\mathbf {V} \ +\ df(\mathbf {w} )\ \mathbf {V}$

для вектора V:

$\nabla _{\mu }\mathbf {V} \ =\ \nabla _{\mu }(V^{\nu }\mathbf {e} _{\nu })\ =\ V^{\nu }\ (\nabla _{\mu }\mathbf {e} _{\nu })\ +\ dV^{\nu }(\mathbf {e} _{\mu })\ \mathbf {e} _{\nu }.$

Зная, что $dV^{\nu }(\mathbf {e} _{\mu })=\partial _{\mu }V^{\nu }$, получаем:

$\nabla _{\mu }\mathbf {V} \ =\ V^{\nu }\ \Gamma ^{\rho }{}_{\mu \nu }\ {\mathbf {e} }_{\rho }\ +\ \partial _{\mu }V^{\nu }\ \mathbf {e} _{\nu }$

Первый член этой формулы описывает «деформацию» системы координат по отношению к ковариантной производной, а второй — изменения координат вектора V. При суммировании по немым индексам мы можем переписать это соотношение в форме

$\nabla _{\mu }\mathbf {V} \ =\ \left[\,V^{\rho }\ \Gamma ^{\nu }{}_{\mu \rho }\ +\ \partial _{\mu }V^{\nu }\,\right]\ \mathbf {e} _{\nu }$

Из этого получаем важную формулу для компонент:

$\nabla _{\mu }\mathbf {V} ^{\nu }\ =\ \left[\,\nabla _{\mu }\mathbf {V} \,\right]^{\nu }\ =\ \partial _{\mu }V^{\nu }\ +\ \Gamma _{~\mu \rho }^{\nu }\ V^{\rho }$

Используя формулу Лейбница, таким же образом можно продемонстрировать, что:

$\nabla _{\mu }\mathbf {V} _{\nu }\ =\ \partial _{\mu }V_{\nu }\ -\ \Gamma _{~\mu \nu }^{\rho }\ V_{\rho }.$

Чтобы вычислить эти составляющие в явной форме, выражения для символов Кристоффеля должны быть определены, исходя из метрики. Их легко получить, написав следующие условия:

$\nabla _{\mu }\ \mathbf {g} _{\nu \rho }\ =\ 0.$

Расчёт этой ковариантной производной приводит к

$\Gamma ^{\mu }{}_{\rho \sigma }\ =\ {\frac {1}{2}}\ g^{\mu \nu }\ \left(\partial _{\sigma }g_{\nu \rho }\ +\ \partial _{\rho }g_{\nu \sigma }\ -\ \partial _{\nu }g_{\rho \sigma }\right),$

где $g^{\mu \nu }\$ — компоненты «обратного» метрического тензора, определенные уравнениями

$g^{\mu \nu }\ g_{\nu \rho }\ =\ \delta ^{\mu }{}_{\rho }$

Символы Кристоффеля «симметричны» по отношению к нижним индексам: $\Gamma ^{\mu }{}_{\rho \sigma }=\Gamma ^{\mu }{}_{\sigma \rho }.\$

Замечание: иногда определяются также следующие символы:

$\Gamma _{\nu \rho \sigma }\ =\ {\frac {1}{2}}\ \left(\partial _{\sigma }g_{\nu \rho }\ +\ \partial _{\rho }g_{\nu \sigma }\ -\ \partial _{\nu }g_{\rho \sigma }\right)$

получаемые как:

$\Gamma ^{\mu }{}_{\rho \sigma }\ =\ g^{\mu \nu }\ \Gamma _{\nu \rho \sigma }$

Тензор кривизны Римана

Тензор кривизны Римана R — тензор 4-й валентности, определённый для любых векторных полей X, Y, Z из M как

$\mathbf {R} (\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )\mathbf {Z} \ =\ \nabla _{\mathbf {X} }\,(\nabla _{\mathbf {Y} }\mathbf {Z} )\ -\ \nabla _{\mathbf {Y} }\,(\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {Z} )\ -\ \nabla _{[\mathbf {X} ,\mathbf {Y} ]}\mathbf {Z} \;.$

Его компоненты в явной форме выражаются из метрических коэффициентов:

$R_{\mu \nu \rho \sigma }\ =\ {\frac {1}{2}}\left(\partial _{\nu \rho }^{2}g_{\mu \sigma }\ +\ \partial _{\mu \sigma }^{2}g_{\nu \rho }\ -\ \partial _{\nu \sigma }^{2}g_{\mu \rho }\ -\ \partial _{\mu \rho }^{2}g_{\nu \sigma }\right)\ +$

$+\ g_{\lambda \tau }\left(\Gamma ^{\lambda }{}_{\nu \rho }\Gamma ^{\tau }{}_{\mu \sigma }\ -\ \Gamma ^{\lambda }{}_{\nu \sigma }\Gamma ^{\tau }{}_{\mu \rho }\right)\;.$

Симметрии этого тензора:

$R_{\mu \nu \rho \sigma }\ =\ R_{\rho \sigma \mu \nu }\;,$

$R_{\mu \nu \rho \sigma }\ =\ -\ R_{\nu \mu \rho \sigma }\ =\ -\ R_{\mu \nu \sigma \rho }\;.$

Он удовлетворяет также следующему соотношению:

$R_{\mu \nu \rho \sigma }\ +\ R_{\mu \sigma \nu \rho }\ +\ R_{\mu \rho \sigma \nu }\ =\ 0.$

Тензор кривизны Риччи

Тензор Риччи — тензор валентности 2, определенный свёрткой тензора кривизны Римана

$R_{\mu \nu }\ =\ g^{\rho \sigma }\ R_{\rho \mu \sigma \nu }\ =\ R_{~\mu \sigma \nu }^{\sigma }\;.$

Его компоненты в явном виде через символы Кристоффеля:

$R_{\mu \nu }\ =\ \partial _{\rho }\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \nu }\ -\ \partial _{\nu }\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \rho }\ +\ \Gamma ^{\rho }{}_{\mu \nu }\Gamma ^{\sigma }{}_{\rho \sigma }\ -\ \Gamma ^{\sigma }{}_{\mu \rho }\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \sigma }\;.$

Этот тензор симметричен: $R_{\mu \nu }\ =\ R_{\nu \mu }\$.

Скалярная кривизна

Скалярная кривизна является инвариантом, определяемым свёрткой тензора Риччи с метрикой

$R\ =\ g^{\mu \nu }\ R_{\mu \nu }\ =\ R_{~\nu }^{\nu }.$

Уравнения Эйнштейна

Основная статья: Уравнения Эйнштейна

Уравнения гравитационного поля, которые называются уравнениями Эйнштейна, записываются так

$R_{\mu \nu }\ -\ {\frac {1}{2}}\,g_{\mu \nu }\,R\ +\ \Lambda \ g_{\mu \nu }\ =\ {\frac {8\pi G}{c^{4}}}\ T_{\mu \nu },$

или так

$G_{\mu \nu }\ +\ \Lambda \ g_{\mu \nu }\ =\ {\frac {8\pi G}{c^{4}}}\ T_{\mu \nu },$

где $\Lambda$ — космологическая константа, $c$ — скорость света в вакууме, $G$ — гравитационная постоянная, которая появляется также в законе всемирного тяготения Ньютона, $G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }\ -\ {\frac {1}{2}}\,g_{\mu \nu }\,R$ — тензор Эйнштейна, а $T_{\mu \nu }$ — тензор энергии-импульса.

Симметричный тензор $g_{\mu \nu }$ имеет только 10 независимых составляющих, тензорное уравнение Эйнштейна в заданной системе координат эквивалентно системе 10 скалярных уравнений. Эта система 10 связанных нелинейных уравнений в частных производных в большинстве случаев очень трудна для изучения.

Тензор энергии-импульса

Тензор энергии-импульса может быть записан в виде действительной симметричной матрицы 4x4:

$T_{\mu \nu }\ =\ \left({\begin{matrix}T_{00}&T_{01}&T_{02}&T_{03}\\T_{10}&T_{11}&T_{12}&T_{13}\\T_{20}&T_{21}&T_{22}&T_{23}\\T_{30}&T_{31}&T_{32}&T_{33}\end{matrix}}\right).$

В нём обнаруживаются следующие физические величины:

• T₀₀ — объёмная плотность энергии. Она должна быть положительной.
• T₁₀, T₂₀, T₃₀ — плотности компонент импульса.
• T₀₁, T₀₂, T₀₃ — компоненты потока энергии.
• Под-матрица 3 x 3 из чисто пространственных компонент:

$T_{ik}\ =\ \left({\begin{matrix}T_{11}&T_{12}&T_{13}\\T_{21}&T_{22}&T_{23}\\T_{31}&T_{32}&T_{33}\end{matrix}}\right)$

— матрица потоков импульсов. В механике жидкости диагональные компоненты соответствуют давлению, а прочие составляющие — тангенциальным усилиям (напряжениям или в старой терминологии — натяжениям), вызванным вязкостью.

Для жидкости в покое тензор энергии-импульса сводится к диагональной матрице ${\rm {diag}}({{\rho }c^{2}},~p,~p,~p)$, где ${\rho }$ есть плотность массы, а $p$ — гидростатическое давление.