Сигнатура (линейная алгебра)

В линейной алгебре сигнатура — числовая характеристика квадратичной формы или псевдоевклидова пространства, в котором скалярное произведение задано с помощью соответствующей квадратичной формы.

Определение

Каждая квадратичная форма с действительными коэффициентами может быть приведена с помощью невырожденной линейной замены переменных к каноническому виду

$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{p}^{2}-x_{p+1}^{2}-x_{p+2}^{2}-\cdots -x_{p+q}^{2}.$

Разность $p-q$ между числом положительных и отрицательных членов в этой записи называется сигнатурой квадратичной формы. Числа p и q сигнатуры не зависят от способов приведения формы к каноническому виду (закон инерции Сильвестра).

Сигнатуру квадратичной формы также записывают в виде пары чисел $(p,q)$ или в виде $(+\cdots +-\cdots -)$ с соответствующим числом плюсов и минусов.

Пример

Квадратичная форма от двух переменных $x_{1}x_{2}$ может быть приведена к каноническому виду ${\tilde {x}}_{1}^{2}-{\tilde {x}}_{2}^{2},$ например, с помощью линейной замены переменных:

$x_{1}=({\tilde {x}}_{1}+{\tilde {x}}_{2}),$ $x_{2}=({\tilde {x}}_{1}-{\tilde {x}}_{2}).$

Сигнатура этой квадратичной формы равна нулю или может быть записана в виде $(1,1)$ или в виде $(+-).$

См. также

• Псевдоевклидово пространство
• Пространство Минковского
• Квадратичная форма
• Линейная алгебра

Литература

• Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. — М.: Наука, 1975.
• Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. — М.: Наука, 1971.
• Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре. — М.: Наука, 1984.
• В. А. Ильин, Э. Г. Позняк Линейная алгебра, М.: М.: Наука, Физматлит, 1999.
• Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия. — М.: Физматлит, 2009.