Упругое рассеяние

Упру́гое рассе́яние — процесс взаимодействия (рассеяния) частиц, при котором их внутренние состояния остаются неизменными, а меняются лишь импульсы. Все другие варианты рассеяния частиц являются неупругими (например, если в ходе взаимодействия меняется число частиц или внутреннее состояние хотя бы одной из частиц). Кинетическая энергия и импульс частицы не считаются её внутренним состоянием.

В нерелятивистском классическом случае при рассеянии частицы с массой m₁ на частице с массой m₂ в системе отсчёта, в которой вторая частица до столкновения покоилась, из законов сохранения энергии и импульса следует:

$m_{1}v_{1}^{2}=m_{1}v_{1}'^{2}+m_{2}v_{2}'^{2},$

$m_{1}v_{1}'\sin \alpha =m_{2}v_{2}'\sin \beta ,$

$m_{1}v_{1}=m_{1}v_{1}'\cos \alpha +m_{2}v_{2}'\cos \beta ,$

где $v_{1}',\,v_{2}'$ — скорости частиц после столкновения,

$\alpha ,\,\beta$ — углы, под которыми направлены скорости соответственно частиц 1 и 2 после столкновения по отношению к направлению движения частицы 1 до столкновения.

Угол $\alpha$ называется углом рассеяния. Величины допустимых углов рассеяния определяются неравенством $\sin \alpha \leq m_{2}/m_{1}.$

В квантовой нерелятивистской теории упругое рассеяние бесспиновых частиц на бесконечности (т.е. при расстоянии между сталкивающимися частицами $r\to \infty$) можно описать решением уравнения Шрёдингера:

$\psi (\mathbf {r} )_{r\to \infty }\sim e^{i\mathbf {kr} }+f(\vartheta )r^{-1}e^{i\mathbf {kr} },$

где $\mathbf {k} =\mathbf {p} /\hbar$ — волновой вектор частицы,

$\mathbf {p}$ — импульс частицы в системе центра масс,

$\vartheta$ — угол рассеяния,

$f(\vartheta )$ — амплитуда рассеяния, которая зависит от угла рассеяния и энергии частиц.

В этом выражении первый член описывает падающие частицы, второй — рассеянные частицы.

Квадрат модуля амплитуды рассеяния в данный угол в системе центра масс равен дифференциальному сечению рассеяния — отношению числа частиц, рассеянных за единицу времени в элемент телесного угла $d\Omega ,$ к плотности потока частиц:

$|f(\vartheta )|^{2}={\frac {d\sigma }{d\Omega }}.$

Амплитуду рассеяния можно разложить в ряд по парциальным волнам, имеющим физический смысл состояний с определённым орбитальным моментом L:

$f(\vartheta )={\frac {1}{2ik}}\sum _{L=0}^{\infty }(2L+1)(S_{L}-1)P_{L}(\cos \vartheta ),$

где $P_{L}(\cos(\theta ))$ — многочлены Лежандра,

$S_{L}=e^{2i\delta _{L}}$ — элементы матрицы рассеяния — комплексные функции энергии, зависящие от характера взаимодействия.

Для упругого рассеяния $S_{L}=e^{2i\delta _{L}},$ где $\delta _{L}$ — фаза рассеяния данной парциальной волны.

В случае упругого рассеяния число падающих частиц с данным орбитальным моментом L равно числу рассеянных частиц с тем же моментом, и $|S_{L}|=1.$

Амплитуда парциальной волны может быть выражена через элемент S-матрицы и фазу рассеяния как

$f_{L}={\frac {S_{L}-1}{2ik}}={\frac {e^{2i\delta _{L}}-1}{2ik}}={\frac {e^{i\delta _{L}}\sin \delta _{L}}{k}}={\frac {1}{k\operatorname {ctg} \delta _{L}-ik}}.$

Полное сечение упругого рассеяния $\sigma ^{\text{el}}$ равно сумме парциальных сечений со всеми возможными орбитальными моментами:

$\sigma ^{\text{el}}=\sum _{L=0}^{\infty }\sigma _{L}^{\text{el}},$

$\sigma _{L}^{\text{el}}=\pi \lambda \!\!\!^{{}^{\underline {\ \ }}}{}^{2}(2L+1)|S_{L}-1|^{2},$

где $\lambda \!\!\!^{{}^{\underline {\ \ }}}=1/k$ — де-бройлевская длина волны частицы.

Максимальное парциальное сечение (резонанс в упругом рассеянии) достигается при $S_{L}=-1;$ оно равно

$\left(\sigma _{L}^{\text{el}}\right)_{\text{max}}=4\pi \lambda \!\!\!^{{}^{\underline {\ \ }}}{}^{2}(2L+1),$

причём фаза рассеяния $\delta _{L}=\pi /2.$ Следовательно, для резонансных условий сечение упругого рассеяния определяется де-бройлевской длиной волны и, если частица имеет малый импульс (соответственно большую длину волны $\lambda \!\!\!^{{}^{\underline {\ \ }}},$ значительно превосходящую классический радиус $R_{0}$ рассеивающей частицы), наблюдаемое сечение может значительно превосходить классическое сечение рассеяния $\pi R_{0}^{2}.$

Примеры упругого рассеяния

• Рэлеевское рассеяние — рассеяние света на объектах, размеры которых меньше его длины волны.
• Томсоновское рассеяние — рассеяние фотонов на электронах (или других заряженных частицах) в частном случае, когда энергия фотона пренебрежимо мала по сравнению с массой рассеивающей частицы.
• Комптоновское рассеяние (комптон-эффект) — общий случай рассеяния фотонов на электронах (или других заряженных частицах); при стремлении энергии фотонов к нулю переходит в томсоновское рассеяние.
• Обратное комптоновское рассеяние — рассеяние электронов (или других заряженных частиц) на фотонах.
• Резерфордовское рассеяние (кулоновское рассеяние) — нерелятивистское рассеяние тяжёлых заряженных частиц (в частности, альфа-частиц) на ядрах атомов.

См. также

• Неупругое рассеяние
• Упругое столкновение

Источники

• Упругое рассеяние // Физический энциклопедический словарь / Гл. ред. А. М. Прохоров. Ред. кол. Д. М. Алексеев, А. М. Бонч-Бруевич, А. С. Боровик и др. — М.: Советская энциклопедия, 1983. — 928 с. — 100 000 экз.
• Кузьмичев В. Е. Законы и формулы физики (рус.). — К.: Наукова думка, 1989. — С. 31—32. — 864 с.
• Биленький С. М. Рассеяние микрочастиц // Физическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. А. М. Прохоров. — М.: Большая российская энциклопедия, 1994. — Т. 4: Пойнтинга — Робертсона — Стримеры. — С. 271—273. — 704 с. — 40 000 экз. — ISBN 5-85270-087-8.