Ультрафильтр

Ультрафильтр на решётке $F$ — это максимальный собственный фильтр. Понятие ультрафильтра появилось в общей топологии, где оно используется для обобщения понятия сходимости на пространства с несчётной базой.

Тёмно-зелёным отмечен фильтр, не являющийся ультрафильтром. При добавлении к нему светло-зелёных элементов образуется ультрафильтр.

Определение

Собственный фильтр $F$ на решётке $L$ является ультрафильтром, если он не содержится ни в одном собственном (то есть отличном от $F$) фильтре.

Набор $F$ подмножеств множества $X$ называется ультрафильтром на $X$, если

• $\varnothing \notin F$
• для любых двух элементов $F$, их пересечение также лежит в $F$
• для любого элемента $F$, все его надмножества лежат в $F$
• для любого подмножества $Y\subseteq X$ либо $Y\in F$, либо $X\backslash Y\in F$

Замечания

• $F$ является ультрафильтром если функция на множествах $S\subset X$, заданная как $\omega _{F}(S)=1$, если $S\in F$, и $\omega _{F}(S)=0$ в противном случае, то $\omega _{F}$ является конечно-аддитивной вероятностной мерой на $X$.

Ультрафильтры в булевых алгебрах

Если решётка $L$ является булевой алгеброй, то возможна следующая характеризация ультрафильтров: фильтр $F$ является ультрафильтром тогда и только тогда, когда для любого элемента $x\in L$ либо $x\in F$, либо $-x\in F$

Эта характеризация делает ультрафильтры похожими на полные теории.

Примеры

• Минимальный фильтр, содержащий данный элемент $x$, называется главным фильтром, сгенерированным главным элементом $x$.
  • Любой главный фильтр является ультрафильтром
  • Основные приложения имеют неглавные ультрафильтры.
• подмножество алгебры Линденбаума — Тарского полной теории $T$, состоящее из теорем $T$

Свойства

• ультрафильтр на конечном множестве всегда является главным.
• любой ультрафильтр на бесконечном множестве содержит конечный фильтр.
• если $F$ — главный ультрафильтр на множестве $X$, то его главный элемент является пересечением всех элементов ультрафильтра.
• если $F$ — неглавный ультрафильтр на множестве $X$, то пересечение всех его элементов пусто.
• Каждый фильтр содержится в ультрафильтре.
  • Это утверждение не может быть доказано без использования аксиомы выбора.
  • Также это утверждение эквивалентно теореме о булевых простых идеалах.
  • Важным следствием этой теоремы является существование неглавных ультрафильтров на бесконечных множествах.
• Компактификация Стоуна — Чеха дискретного пространства $X$ — это множество ультрафильтров на решётке подмножеств $X$ наделённое топологией Стоуна. В качестве базы открытых множеств топологии Стоуна на множестве ультрафильтров $G$ можно взять множества $D_{a}=\{U\in G|a\in U\}$ для всевозможных $a\in P(X).$

Приложения

• Ультрафильтры используются в ряде конструкций теории моделей, а именно для формулировки понятия ультрапроизведения.
• Ультрафильтры также фигурируют в формулировке теоремы Стоуна о представлении булевых алгебр и в явном построении компактификации Стоуна — Чеха.
• Ультрапредел для метрических пространств — обобщение сходимости по Громову — Хаусдорфу.
• Ультрафильтры используются в комбинаторике, например в теории Рамсея.