Тождественное отображение

Тожде́ственное отображе́ние  — функция, переводящая аргумент в себя. Обычно обозначается символом $\mathrm {id}$ или $\mathrm {id} _{X}$. При этом $\mathrm {id} _{X}(x)=x$ для любого $x\in X$.

В логике используются термины тождественность и идентичность. Логическим результатом функции идентичности является тавтология.

Свойства

• Для произвольной функции $F\colon X\to Y$ её композиция с тождественным отображением не отличается от неё самой: 

• $F\circ \mathrm {id} _{X}=F$,
• $\mathrm {id} _{Y}\circ F=F$.

В частности, $\mathrm {id} _{X}$ является нейтральным элементом моноида, образованного отображениями из $X$ в $X$, а также нейтральным элементом симметрической группы перестановок множества $X$.

• Композиция биекции $F\colon X\to Y$ со своей обратной функцией $F^{-1}$ даёт тождественные отображения:
  • $F\circ F^{-1}=\mathrm {id} _{Y}$,
  • $F^{-1}\circ F=\mathrm {id} _{X}$.

• В логике, идентичность является обратной функцией отрицания.

Литература

• Лекции по дискретной математике/ М. Вялый, В. Подольский, А. Рубцов, Д. Шварц, А. Шень Лекции по дискретной математике; Нац. исслед. ун-т «Высшая школа экономики».