Тетракисгексаэдр

Тетракисгекса́эдр (от др.-греч. τετράχις — «четырежды», ἕξ — «шесть» и ἕδρα — «грань»), также называемый тетрагекса́эдром или преломлённым ку́бом, — полуправильный многогранник (каталаново тело), двойственный усечённому октаэдру. Составлен из 24 одинаковых остроугольных равнобедренных треугольников, в которых один из углов равен $\arccos \,{\frac {1}{9}}\approx 83{,}62^{\circ },$ а два других $\arccos \,{\frac {2}{3}}\approx 48{,}19^{\circ }.$

Тетракисгексаэдр
(вращающаяся модель, 3D-модель)
Тип	каталаново тело
Свойства	выпуклый, изоэдральный
Комбинаторика
Элементы	24 грани 36 рёбер 14 вершин Χ = 2
Грани	равнобедренные треугольники:
Конфигурация вершины	6(34) 8(36)
Конфигурация грани	V4.6.6
Двойственный многогранник	усечённый октаэдр
Развёртка
Классификация
Обозначения	kC
Группа симметрии	Oh (октаэдрическая)
Медиафайлы на Викискладе

Имеет 14 вершин; в 6 вершинах (расположенных так же, как вершины октаэдра) сходятся своими бо́льшими углами по 4 грани, в 8 вершинах (расположенных так же, как вершины куба) сходятся меньшими углами по 6 граней.

У тетракисгексаэдра 36 рёбер — 12 «длинных» (расположенных так же, как рёбра куба) и 24 «коротких». Двугранный угол при любом ребре одинаков и равен $\arccos \left(-{\frac {4}{5}}\right)\approx 143{,}13^{\circ }.$

Тетракисгексаэдр можно получить из куба, приложив к каждой его грани правильную четырёхугольную пирамиду с основанием, равным грани куба, и высотой, которая ровно в $4$ раза меньше стороны основания. При этом полученный многогранник будет иметь по 4 грани вместо каждой из 6 граней исходного — с чем и связано его название.

Тетракисгексаэдр — одно из трёх каталановых тел, в которых существует эйлеров путь.

Метрические характеристики

Если «короткие» рёбра тетракисгексаэдра имеют длину $a$, то его «длинные» рёбра имеют длину ${\frac {4}{3}}a\approx 1{,}33a,$ а площадь поверхности и объём выражаются как

$S={\frac {16{\sqrt {5}}}{3}}a^{2}\approx 11{,}9256959a^{2},$

$V={\frac {32}{9}}a^{3}\approx 3{,}5555556a^{3}.$

Радиус вписанной сферы (касающейся всех граней многогранника в их инцентрах) при этом будет равен

$r={\frac {2{\sqrt {5}}}{5}}a\approx 0{,}8944272a,$

радиус полувписанной сферы (касающейся всех рёбер) —

$\rho ={\frac {2{\sqrt {2}}}{3}}a\approx 0{,}9428090a.$

Описать около тетракисгексаэдра сферу — так, чтобы она проходила через все вершины, — невозможно.

В координатах

Тетракисгексаэдр можно расположить в декартовой системе координат так, чтобы его вершины имели координаты $(\pm 2;\;\pm 2;\;\pm 2),$ $(\pm 3;\;0;\;0),$ $(0;\;\pm 3;\;0),$ $(0;\;0;\;\pm 3).$

Начало координат $(0;0;0)$ будет при этом центром симметрии многогранника, а также центром его вписанной и полувписанной сфер.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Тетракисгексаэдр (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.