Теорема о сфере (дифференциальная геометрия)

Теорема о сфере — общее название теорем, дающих достаточные условия на риманову метрику, гарантирующие гомеоморфность или диффеоморфность многообразия стандартной сфере.

Формулировки

Пусть $M$ является замкнутым, односвязным, n-мерным римановым многообразием с некоторым условием на кривизну (смотри замечания), тогда $M$ гомеоморфно / диффеоморфно n-мерной сфере.

Замечания

Формулировки с гомеоморфизмом и диффеоморфизмом называются соответственно топологическая теорема о сфере и гладкая теорема о сфере.

Наиболее известным условием на кривизну является так называемое четверть-защепление кривизны, означающее, что секционная кривизна в каждом секционном направлении каждой точки лежит в $(1,4]$ .
- Условие четверть-защепления является оптимальным, теорема перестаёт быть верной, если секционная кривизна может принимать значения в замкнутом интервале $[1,4]$ . Стандартный контрпример — комплексное проективное пространство с канонической метрикой; секционная кривизна метрики принимает значения между 1 и 4, включая конечные точки. Другие контрпримеры можно найти среди симметрических пространств ранга 1.
- Более общим условием является поточечное четверть-защепление. Это означает, что секционная кривизна положительна и для каждой фиксированной точки отношение максимума к минимуму секционных кривизн по всем секционным направлениям не превосходит 4.

Другим известным условием на кривизну является положительность оператора кривизны.
- Более общим условием является так называемая 2-положительность оператора кривизны, то есть положительность суммы двух наименьших собственных значений оператора кривизны.

История

Топологическая теорема

Первая теорема о сфере была доказана Раухом в 1951 году. Он показал, что односвязные многообразия с секционной кривизной в интервале [3/4,1] гомеоморфны сфере.

В 1960 году Марсель Берже и Вильгельм Клингенберг доказали топологическую версию теоремы о сфере для четверть-защепления.

В 1988 году Микалеф и Мур доказали топологическую версию для замкнутых многообразий с положительной комплексифицированной кривизной в изотропных направлениях.
- В частности, из этого следует топологическая теорема о сфере для положительного оператора кривизны.
  - То, что замкнутые многообразия с положительным оператором кривизны являются рационально-гомологическими сферами, легко следует из формулы Бохнера.
- Их доказательство использует двумерный аналог леммы Синга.

Гладкая теорема

Классические методы позволяли доказать гладкую теорему о сфере только для очень жёсткого защепления, оптимальных защеплений удалось добиться применением потока Риччи

В 1982 году Ричард Гамильтон доказал гладкую теорему о сфере в 3-мерном случае с положительной кривизной Риччи.
- Это было первое применение потока Риччи, остальные доказательства гладкой теоремы проходили по той же схеме, но требовали серьёзных технических доработок.

В 1985 году Герхард Хуйскен^[англ.] использовал поток Риччи для доказательства гладкой теоремы о сфере во всех размерностях.
- Предложное им условие на кривизну было в некотором смысле оптимально. В частности, тензор кривизны произведения окружности на сферу $\mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {S} ^{n-1}$ лежит на границе условия на кривизну.

В 2008 году Бурхард Вилкинг и Кристоф Бём доказали гладкую теорему о сфере для два-положительности оператора кривизны. В частности, гладкая теорема о сфере верна при условии положительности оператора кривизны.

В 2009 году Саймоном Бренде^[англ.] и Ричардом Шёном^[англ.] доказана гладкая теорема о сфере с четверть-защеплением. Их доказательство существенно использовало идеи Вилкинга и Бёма.

Литература

Rauch, H.E., A contribution to differential geometry in the large, Ann. of Math. 54 (1951), 38-55
Klingenberg, W., Contributions to riemannian Geometry in the large, Ann. of Math. 69 (1959), 654—666.
Berger, M., Les variétés Riemannienes (1/4)-pincées, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa, Ser. III, 14 (1960), 161—170.
Micallef, M., Moore, J. D., Minimal two-spheres and the topology of manifolds with positive curvature on totally isotropic two-planes. Ann. of Math. (2) 127 (1988), 199—227.
Huisken, G., Ricci deformation on the metric on a Riemannian manifold. J. Differential Geom. 21 (1985), 47-62.
B. Wilking, C. Böhm: Manifolds with positive curvature operators are space forms. Ann. of Math. (2) 167 (2008), no. 3, 1079—1097.
Simon Brendle and Richard Schoen. Manifolds with 1/4-pinched curvature are space forms (англ.) // Journal of the American Mathematical Society^[англ.] : journal. — 2009. — Vol. 22, no. 1. — P. 287—307. — doi:10.1090/s0894-0347-08-00613-9.