Поток Риччи

Для термина «Риччи» см. также другие значения.

Поток Риччи — система дифференциальных уравнений в частных производных, описывающая деформацию римановой метрики на многообразии.

Эта система является нелинейным аналогом уравнения теплопроводности.

Назван по аналогии с кривизной Риччи, в честь итальянского математика Риччи-Курбастро.

Уравнение

Уравнение потока Риччи имеет вид:

$\partial _{t}g_{t}=-2\cdot \mathrm {Rc} _{t}.$

где $g_{t}$ обозначает однопараметрическое семейство римановых метрик на полном многообразии (зависящая от вещественного параметра $t$), и $\mathrm {Rc} _{t}$ — её тензор Риччи.

Свойства

• Формально говоря, система уравнений $R$, задаваемая потоком Риччи, не является параболическим уравнением. Тем не менее, существует параболическая система уравнений $R'$, предложенная Детурком, такая, что если $g_{0}$ риманова метрика на компактном многообразии $M$ и $g_{t}$, $g'_{t}$ — решения систем $R$ и $R'$, то $(M,\;g_{t})$ изометрично $(M,\;g_{t}')$ для всех $t$.
  • Эта конструкция существенно упростила доказательство существования решения, она называется «трюком Детурка».
• Аналогично уравнению теплопроводности (и прочим параболическим уравнениям), задав произвольные начальные условия при $t=0$, можно получить решения лишь в одну сторону по $t$, а именно $t\geqslant 0$.
• В отличие от решений уравнения теплопроводности, поток Риччи, как правило, не продолжается неограниченно при $t\to \infty$. Решение продолжается на максимальный интервал $[0,\;T)$. В случае если $T$ конечно, при приближении к $T$ кривизна многообразия идёт к бесконечности, и в решении формируется сингулярность. Именно на исследовании сингулярностей, в которые упираются потоки Риччи, и было основано доказательство гипотезы Тёрстона.
• Псевдолокальность — если некоторая окрестность точки в начальный момент выглядит почти как кусок евклидова пространства, то это свойство сохранится определённое время в потоке Риччи у меньшей окрестности.

Изменение геометрических характеристик

• Для объёма $\mathrm {vol} _{t}$ метрики $g_{t}$ верно соотношение

  ${\tfrac {\partial }{\partial t}}(\mathrm {d} \,\mathrm {vol} _{t})=-\mathrm {R} _{t}\cdot (\mathrm {d} \,\mathrm {vol} _{t}).$

• Для скалярной кривизны $\mathrm {R} _{t}$ метрики $g_{t}$ верно соотношение

  ${\tfrac {\partial }{\partial t}}\mathrm {R} _{t}=\triangle _{t}\mathrm {R} _{t}+|\mathrm {Rc} _{t}|^{2}$

где $|\mathrm {Rc} _{t}|^{2}$ определяется как $\sum _{i,j}(\mathrm {Rc} (e_{i},e_{j}))^{2}$ для ортонормированного репера $\{e_{i}\}$ в точке.

• В частности, согласно принципу максимума, поток Риччи сохраняет положительность скалярной кривизны.
• Более того, нижняя грань скалярной кривизны не убывает.

• Для каждого $g_{0}$-ортонормированного репера $\{e^{i}\}$ в точке $x\in M$ существует так называемый сопутствующий $g_{t}$-ортонормированный репер $\{e_{t}^{i}\}$. Для тензора кривизны $\mathrm {Rm} _{t}$, записанного в этом базисе, верно соотношение

  ${\tfrac {\partial }{\partial t}}\mathrm {Rm} _{t}=\triangle _{t}\mathrm {Rm} _{t}+Q(\mathrm {Rm} _{t},\mathrm {Rm} _{t}),$

где $Q$ — определённая билинейная квадратичная форма на пространстве тензоров кривизны и со значениями в них.

• Билинейная квадратичная форма $Q$ определяет векторное поле на векторном пространстве тензоров кривизны — каждому тензору кривизны $x$ приписывается другой тензор кривизны $v_{x}=Q(x,x)$. Решения ОДУ

${\dot {x}}=v_{x}$

играют важную роль в теории потоков Риччи.

• Выпуклые множества $K$ в пространстве тензоров кривизны, инвариантные относительно вращений и такие, что если в приведённом ОДУ $x(0)\in K$, то $x(t)\in K$ при $t\geq 0$, называются инвариантными для потока Риччи. Если кривизна римановой метрики на замкнутом многообразии в каждой точке принадлежит такому $K$, то тоже верно и для метрик, получаемых из неё потоком Риччи. Рассуждения такого сорта называются «принципом максимума» для потока Риччи.

• К инвариантным множествам относятся

• Тензоры кривизны с положительной скалярной кривизной
• Тензоры кривизны с положительным оператором кривизны
• В трёхмерном случае, тензоры кривизны с положительной кривизной Риччи

Размерность 3

В случае, когда размерность пространства равна 3, для каждого $x$ и $t$ можно подобрать репер $\{e_{t}^{i}\}$, в котором $\mathrm {Rm} _{t}$ диагонализуется в базисе $e_{1}\wedge e_{2}$, $e_{2}\wedge e_{3}$, $e_{3}\wedge e_{1}$, скажем,

$\mathrm {Rm} ={\begin{pmatrix}\lambda &0&0\\0&\mu &0\\0&0&\nu \end{pmatrix}}.$

Тогда

$Q(\mathrm {Rm} ,\mathrm {Rm} )={\begin{pmatrix}\lambda ^{2}+\mu \cdot \nu &0&0\\0&\mu ^{2}+\nu \cdot \lambda &0\\0&0&\nu ^{2}+\lambda \cdot \mu \end{pmatrix}}.$

История

Начало исследованию потока Риччи было положено Гамильтоном в начале 1980-x годов. С помощью потоков Риччи были доказаны несколько гладких теорем о сфере.

Используя потоки Риччи в своих статьях, опубликованных в 2002-2003 годах, Перельману удалось доказать гипотезу Тёрстона, проведя тем самым полную классификацию компактных трёхмерных многообразий, и доказать гипотезу Пуанкаре.

Литература

• Hamilton, R. S. Three Manifolds with Positive Ricci Curvature // J. Diff. Geom. 17, 255—306, 1982.
• Hamilton, R. S. Four Manifolds with Positive Curvature Operator // J. Diff. Geom. 24, 153—179, 1986.
• Perelman, Grisha (November 11, 2002). "The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications". arXiv:math.DG/0211159. {{cite arXiv}}: |class= игнорируется (справка)
• Perelman, Grisha (March 10, 2003). "Ricci flow with surgery on three-manifolds". arXiv:math.DG/0303109. {{cite arXiv}}: |class= игнорируется (справка)
• Perelman, Grisha (July 17, 2003). "Finite extinction time for the solutions to the Ricci flow on certain three-manifolds". arXiv:math.DG/0307245. {{cite arXiv}}: |class= игнорируется (справка)
• Bruce Kleiner, John Lott: Notes and commentary on Perelman's Ricci flow papers (PDF; 1,5 MB), 2008.
• J. Rubinstein, R. Sinclair: Visualizating Ricci Flow on Manifolds of Revolution (PDF; 2,7 MB), 2004.
• Chow, Bennett, Peng Lu, and Lei Ni. Hamilton's Ricci flow. — American Mathematical Soc., 2006.