Теорема о бабочке

Теорема о бабочке — классическая теорема планиметрии.

История

Опубликована в 1803 году Уильямом Уоллесом в английском журнале «The Gentlemen's Mathematical Companion». Позднее еще не раз переоткрывалась.

Формулировка

Пусть через точку М, являющуюся серединой хорды PQ некоторой окружности, проведены две произвольные хорды АВ и CD той же окружности. Пусть хорды AD и ВС пересекают хорду PQ в точках X и Y. Тогда М является серединой отрезка XY.

Замечания

Верна и обратная теорема о бабочке:

• Пусть через точку М внутри некоторой окружности проведены две произвольные хорды АВ и CD. Пусть хорды AD и ВС пересекают произвольную хорду PQ в точках X и Y. Тогда если М является серединой отрезка XY, то она одновременно является серединой хорды PQ.

О доказательствах

Доказательство

Теорема о бабочке имеет большое число различных доказательств, как в рамках элементарной геометрии, так и использующих методы, выходящие за её пределы.

• В частности, в проективной модели плоскости Лобачевского, треугольник $\triangle AMD$ центрально симметричен $\triangle BMC$ и отсюда легко следует теорема.

• При помощи проецирования двойных отношений: Рассмотрим двойное отношение точек $(P,M,X,Q)$, и спроецируем его на окружность из точки $A$. Точки $P$ и $Q$ перейдут сами в себя, так как принадлежат окружности, а точки $M$ и $X$ перейдут в точки $B$ и $D$ соответственно. Получаем $(P,M,X,Q)=(P,B,D,Q)$ (последнее следует трактовать как двойное отношение точек на комплексной плоскости). Проецируем обратно на прямую $PQ$ с центром в точке $C$, получаем $(P,M,X,Q)=(P,Y,M,Q)$. Распишем двойное отношение по определению, получим необходимое равенство.
• Используется также метод инверсии

Вариации и обобщения

Обобщение Шарыгина.

• Обобщение Шарыгина: Пусть на окружности дана хорда AB, на ней — точки M и N, причём AM = BN. Через точки M и N проведены хорды PQ и RS, соответственно. Прямые QS и RP пересекают хорду AB в точках K и L, тогда AK = BL.

Ссылки

• Коксетер Г. С. М., Грейтцер С. П. Новые встречи с геометрией. — М.: Наука, 1978. — Т. 14. — (Библиотека математического кружка).
• Ченцов Н. Н., Шклярский Д. О., Яглом И. М. Избранные задачи и теоремы элементарной математики. Геометрия (планиметрия). — М.: Гостехиздат, 1952.
• Жижилкин И. Д. Инверсия.. — М.: МЦНМО, 2009. — С. 36.