Двойное отношение

Двойное отношение (или сложное отношение или устаревшее ангармоническое отношение) четвёрки чисел $a$ , $b$ , $c$ , $d$ (вещественных или комплексных) определяется как

(ab,cd)={\frac {c-a}{c-b}}:{\frac {d-a}{d-b}}.

Также встречаются обозначения $(a,b;c,d)$ и $[a,b;c,d]$ .

Свойства

$(ab,cd)(ab,de)=(ab,ce)$ .
Двойное отношение сохраняется при дробно-линейных преобразованиях, в частности не зависит от выбора координат на прямой.

(ab,cd)={\frac {1}{(ba,cd)}}={\frac {1}{(ab,dc)}}=1-(ac,bd)

.

В частности, если двойное отношение четвёрки чисел равно

\lambda

, тогда двойное отношение любой из 24 перестановок четвёрки равно одному из следующих шести значений:

\lambda ,{\frac {1}{\lambda }},1-\lambda ,{\frac {1}{1-\lambda }},{\frac {\lambda -1}{\lambda }},{\frac {\lambda }{\lambda -1}}

.

Вариации и обобщения

Двойным (или сложным) отношением четвёрки точек $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , лежащих на одной (вещественной или комплексной) прямой, называют число

(AB,CD)={\frac {c-a}{c-b}}:{\frac {d-a}{d-b}},

где через $a$ , $b$ , $c$ , $d$ обозначены координаты точек $A$ , $B$ , $C$ , $D$ соответственно. Двойное отношение не зависит от выбора координаты на прямой. Часто пишут также так:

(AB,CD)={\frac {AC}{BC}}:{\frac {AD}{BD}},

подразумевая, что через $AC/BC$ (соответственно $AD/BD$ ) обозначено отношение направленных отрезков.

Двойное отношение четвёрки точек на прямой сохраняется при проективных преобразованиях плоскости или пространства.

Двойным отношением четвёрки прямых $a$ , $b$ , $c$ , $d$ , проходящих через одну точку, называют число

(ab,cd)=\pm {\frac {\sin(a,c)}{\sin(b,c)}}:{\frac {\sin(a,d)}{\sin(b,d)}},

знак которого выбирается следующим образом: если один из углов, образованных прямыми $a$ и $b$ , не пересекается ни с одной из прямых $c$ или $d$ (в этом случае говорят, что пара прямых $a$ и $b$ не разделяет пару прямых $c$ и $d$ ), то $(ab,cd)>0$ ; в противном случае $(ab,cd)<0$ .

Пусть четвёрка прямых $a$ , $b$ , $c$ , $d$ проходит через точку $O$ , а прямая $\ell$ не содержит $O$ . Предположим прямые $a$ , $b$ , $c$ , $d$ пересекаются с $\ell$ соответственно в точках $A$ , $B$ , $C$ и $D$ . Тогда
$(ab,cd)=(AB,CD).$

См. также

Ссылки

Р. Курант, Г. Роббинс, Что такое математика?
Ангармоническое отношение точек // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
Шаль, Мишель. Об ангармонической функции четырех точек или четырех прямых // Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов. Т. 2. Прим. IX. М., 1883.