Теорема Осгуда о единственности решения обыкновенного дифференциального уравнения

Теорема Осгуда о единственности решения обыкновенного дифференциального уравнения — теорема, формулирующая достаточные условия единственности решения обыкновенного дифференциального уравнения.

Формулировка

править

Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение  , где   - независимая скалярная переменная,   - вектор, , - векторная функция вектора   и скаляра  , знак   означает производную   по  .

Если все функции  ,   для любой пары точек   и   в области   удовлетворяют условию:

  (1),

где непрерывная функция   при   такова, что   когда  , то через каждую точку области   проходит не более одной интегральной кривой уравнения  .[1][2]

Пояснения

править

Областью   называется непустое множество точек, обладающее следующими двумя свойствами:

  1. Каждая точка   есть внутренняя, то есть она имеет окрестность, целиком принадлежащую G.
  2. Множество   связно, те любые две его точки можно соединить состоящей из конечного числа звеньев ломаной, целиком лежащей внутри  [3].

В качестве функций   могут использоваться функции  ,  ,  ,   и т.п. Наиболее часто в этой теореме принимают  . В этом случае условие (1) принимает вид условия Липшица по  :[4]

 ,

Известны обобщения этой теоремы[5].

См. также

править

Примечания

править
  1. Петровский, 1949, с. 44-45.
  2. Петровский, 1949, с. 106.
  3. Петровский, 1949, с. 9.
  4. Петровский, 1949, с. 45.
  5. О. Л. Любопытнова, Б. Н. Садовский, “К теореме Осгуда о единственности решения задачи Коши” Архивная копия от 15 мая 2023 на Wayback Machine, Дифференц. уравнения, 38:8 (2002), 1135–1136; Differ. Equ., 38:8 (2002), 1213–1215

Литература

править
  • И.Г. Петровский. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. — М.,Л.: ГосТехТеорИздат, 1949. — 208 с.