Теорема Пикара (дифференциальные уравнения)

Теорема Пикара (теорема Пикара — Линделёфа, теорема Коши — Липшица) — основная теорема обыкновенных дифференциальных уравнений; приводит достаточные условия для существования и единственности решения обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка.

Формулировка

Пусть $y'=f_{t}(y)$ — обыкновенное дифференциальное уравнение, где $y=y(t)\in \mathbb {R} ^{n}$, $f_{t}(y)$ — векторное поле зависящее от параметра $t$. Если отображение $(t,y)\mapsto f_{t}(y)$ непрерывно и для любого фиксированного $t$, и отображение $y\mapsto f_{t}(y)$ — липшицево, то для любого $y_{0}$ существует $\varepsilon >0$ такое, что на промежутке $[t_{0}-\varepsilon ,t_{0}+\varepsilon ]$ существует решение уравнения с начальными данными $y(0)=y_{0}$.

Замечания

• Верна также локальная версия теоремы.

О доказательстве

Обычно в доказательстве применяется теорема Банаха о неподвижной точке к интегральной формы уравнения:

$y(t)-y(t_{0})=\int \limits _{t_{0}}^{t}f(s,y(s))ds$

Вариации и обобщения

• Теорема Осгуда о единственности решения обыкновенного дифференциального уравнения

Ссылки

• Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.:МЦНМО, 2018—344 с.
• Lindelöf, E. (1894). "Sur l'application de la méthode des approximations successives aux équations différentielles ordinaires du premier ordre". Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences. 118: 454—7. (В этой публикации Э. Линделёф обсуждает обобщение подхода, предложенного ранее Э. Пикаром.)