Теорема Котельникова

Теоре́ма Коте́льникова (в англоязычной литературе — теорема Найквиста — Шеннона, теорема отсчётов) — фундаментальное утверждение в области цифровой обработки сигналов, связывающее непрерывные и дискретные сигналы и гласящее, что «любую функцию $F(t)$ , состоящую из частот от 0 до $f_{1}$ , можно непрерывно передавать с любой точностью при помощи чисел, следующих друг за другом менее чем через $1/(2f_{1})$ секунд»^[1].

При доказательстве теоремы взяты ограничения на спектр частот $0<\omega <\omega _{1}$ , где $\omega =2\pi f$ ^[2].

Пояснение

Такая трактовка рассматривает идеальный случай, когда сигнал начался бесконечно давно и никогда не закончится, а также не имеет во временно́й характеристике точек разрыва. Если сигнал имеет разрывы любого рода в функции зависимости его от времени, то его спектральная мощность нигде не обращается в ноль. Именно это подразумевает понятие «спектр, ограниченный сверху конечной частотой $f_{c}$ ».

Разумеется, реальные сигналы (например, звук на цифровом носителе) не обладают такими свойствами, так как они конечны по времени и обычно имеют разрывы во временно́й характеристике. Соответственно, ширина их спектра бесконечна. В таком случае полное восстановление сигнала невозможно, и из теоремы Котельникова вытекают следствия^[3]^[4]:

любой аналоговый сигнал может быть восстановлен с какой угодно точностью по своим дискретным отсчётам, взятым с частотой $f>2f_{c}$ , где $f_{c}$ — максимальная частота, которая ограничена спектром реального сигнала;
если максимальная частота в сигнале равна или превышает половину частоты дискретизации (наложение спектра), то способа восстановить сигнал из дискретного в аналоговый без искажений не существует^[5].

Говоря шире, теорема Котельникова утверждает, что непрерывный сигнал $x(t)$ можно представить в виде интерполяционного ряда:

x(t)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x(k\Delta )\operatorname {sinc} \left[{\frac {\pi }{\Delta }}(t-k\Delta )\right],

где $\operatorname {sinc} (x)=\sin(x)/x$ — функция sinc. Интервал дискретизации удовлетворяет ограничениям $0<\Delta \leqslant {\frac {1}{2f_{c}}}$ . Мгновенные значения данного ряда есть дискретные отсчёты сигнала $x(k\Delta )$ .

История

Хотя в западной литературе теорема часто называется теоремой Найквиста со ссылкой на работу «Certain topics in telegraph transmission theory» 1928 года, в этой работе речь идёт лишь о требуемой полосе линии связи для передачи импульсного сигнала (частота следования должна быть меньше удвоенной полосы). Таким образом, в контексте теоремы отсчётов справедливо говорить лишь о частоте Найквиста. Примерно в это же время Карл Кюпфмюллер^[англ.] получил тот же результат^[6]. О возможности полной реконструкции исходного сигнала по дискретным отсчётам в этих работах речь не идёт. Теорема была предложена и доказана Владимиром Котельниковым в 1933 году в работе «О пропускной способности эфира и проволоки в электросвязи», в которой, в частности, была сформулирована одна из теорем следующим образом^[7]^[8]: «Любую функцию $f(t)$ , состоящую из частот от 0 до $f_{c}$ , можно непрерывно передавать с любой точностью при помощи чисел, следующих друг за другом через $1/(2f_{c})$ секунд». Независимо от него эту теорему в 1949 году (через 16 лет) доказал Клод Шеннон^[9], поэтому в западной литературе эту теорему часто называют теоремой Шеннона. В 1999 году Международный научный фонд Эдуарда Рейна (Германия) признал приоритет Котельникова, наградив его премией в номинации «за фундаментальные исследования» за впервые математически точно сформулированную и доказанную в аспекте коммуникационных технологий теорему отсчётов^[10]. Исторические изыскания показывают, однако, что теорема отсчётов как в части утверждения возможности реконструкции аналогового сигнала по дискретным отсчётам, так и в части способа реконструкции рассматривалась в математическом плане многими учёными и ранее. В частности, первая часть была сформулирована ещё в 1897 году Борелем^[11].

Вариации и обобщения

Впоследствии было предложено большое число различных способов аппроксимации сигналов с ограниченным спектром, обобщающих теорему отсчётов^[12]^[13]. Так, вместо кардинального ряда по функциям sinc, являющимся сдвинутыми копиями импульсной характеристики идеального фильтра нижних частот, можно использовать ряды по конечно- или бесконечнократным свёрткам функций sinc. Например, справедливо следующее обобщение ряда Котельникова непрерывной функции $x(t)$ с финитным спектром $(\operatorname {supp} {\hat {x}}=[-f_{c},f_{c}])$ на основе преобразований Фурье атомарных функций^[14]:

x(t)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x(k\Delta )\prod _{n=1}^{M}\operatorname {sinc} \left[{\frac {\pi }{a^{n-1}\Delta }}(t-k\Delta )\right],

где параметры $a$ и $M$ удовлетворяют неравенству $a^{M-1}(a-2)+1>0$ , а интервал дискретизации:

0<\Delta \leqslant {\frac {1}{2f_{c}}}\left[1+{\frac {a^{M-1}+1}{a^{M-1}(a-1)}}\right].

См. также

Примечания

↑ Биккенин, Чесноков, 2010.
↑ Котельников В. А. О пропускной способности эфира и проволоки в электросвязи — Всесоюзный энергетический комитет. // Материалы к I Всесоюзному съезду по вопросам технической реконструкции дела связи и развития слаботочной промышленности, 1933. Репринт статьи в журнале УФН, 176:7 (2006), 762—770.
↑ Джон К. Беллами. Цифровая телефония. — Радио и связь, 1986.
↑ Гитлиц М. В., Лев А. Ю. Теоретические основы многоканальной связи. — М.: Радио и связь, 1985.
↑ Зиатдинов С. И. / Восстановление сигналов по его выборкам на основе теоремы отсчетов Котельникова Архивная копия от 25 февраля 2015 на Wayback Machine. — Приборостроение (№ 5, 2010). — УДК 621.396:681.323.
↑ K. Küpfmüller. Über die Dynamik der selbsttätigen Verstärkungsregler. Elektrische Nachrichtentechnik, vol. 5, no. 11, pp. 459—467, 1928. (German); K. Küpfmüller, On the dynamics of automatic gain controllers, Elektrische Nachrichtentechnik, vol. 5, no. 11, pp. 459—467. (English translation).
↑ Котельников В. А. О пропускной способности «эфира» и проволоки в электросвязи // Успехи физических наук : Журнал. — 2006. — № 7. — С. 762—770. Архивировано 23 июня 2013 года.
↑ Харкевич А. А. Спектры и анализ — 4-е изд. — Москва : URSS : ЛКИ, 2007. — С. 89.
↑ C. E. Shannon. Communication in the presence of noise. Proc. Institute of Radio Engineers. Vol. 37. No. 1. P. 10—21. Jan. 1949.
↑ К 100-летию со дня рождения академика Котельникова Владимира Александровича Архивная копия от 23 июня 2013 на Wayback Machine.
↑ Erik Meijering. A Chronology of Interpolation From Ancient Astronomy to Modern Signal and Image Processing, Proc. IEEE, 90, 2002. doi:10.1109/5.993400.
↑ Джерри А. Дж. Теорема отсчётов Шеннона, её различные обобщения и приложения. Обзор. — ТИИЭР, т. 65, № 11, 1977, с. 53—89.
↑ Хургин Я. И., Яковлев В. П. Прогресс в Советском Союзе в области теории финитных функций и её применений в физике и технике. — ТИИЭР, 1977, т. 65, № 7, с. 16—45.
↑ Басараб М. А., Зелкин Е. Г., Кравченко В. Ф., Яковлев В. П. Цифровая обработка сигналов на основе теоремы Уиттекера-Котельникова-Шеннона. — М.: Радиотехника, 2004.

Литература

H. Nyquist. Certain topics in telegraph transmission theory. Trans. AIEE, vol. 47, pp. 617—644, Apr. 1928.
Котельников В. А. О пропускной способности эфира и проволоки в электросвязи — Всесоюзный энергетический комитет. // Материалы к I Всесоюзному съезду по вопросам технической реконструкции дела связи и развития слаботочной промышленности, 1933. Репринт статьи в журнале УФН, 176:7 (2006), 762—770.
Биккенин Р. Р., Чесноков М. Н. Теория электрической связи. — М.: Издательский центр «Академия», 2010. — 329 с. — ISBN 978-5-7695-6510-6.

Ссылки

Теорема Котельникова на dsplib.org
Sampling of analog signals Интерактивная презентация дискретизации по времени. Institute of Telecommunications, University of Stuttgart

[_a8bc30380ace3acb-1] Биккенин, Чесноков, 2010.

[2] Котельников В. А. О пропускной способности эфира и проволоки в электросвязи — Всесоюзный энергетический комитет. // Материалы к I Всесоюзному съезду по вопросам технической реконструкции дела связи и развития слаботочной промышленности, 1933. Репринт статьи в журнале УФН, 176:7 (2006), 762—770.

[3] Джон К. Беллами. Цифровая телефония. — Радио и связь, 1986.

[4] Гитлиц М. В., Лев А. Ю. Теоретические основы многоканальной связи. — М.: Радио и связь, 1985.

[5] Зиатдинов С. И. / Восстановление сигналов по его выборкам на основе теоремы отсчетов Котельникова Архивная копия от 25 февраля 2015 на Wayback Machine. — Приборостроение (№ 5, 2010). — УДК 621.396:681.323.

[6] K. Küpfmüller. Über die Dynamik der selbsttätigen Verstärkungsregler. Elektrische Nachrichtentechnik, vol. 5, no. 11, pp. 459—467, 1928. (German); K. Küpfmüller, On the dynamics of automatic gain controllers, Elektrische Nachrichtentechnik, vol. 5, no. 11, pp. 459—467. (English translation).

[7] Котельников В. А. О пропускной способности «эфира» и проволоки в электросвязи // Успехи физических наук : Журнал. — 2006. — № 7. — С. 762—770. Архивировано 23 июня 2013 года.

[8] Харкевич А. А. Спектры и анализ — 4-е изд. — Москва : URSS : ЛКИ, 2007. — С. 89.

[9] C. E. Shannon. Communication in the presence of noise. Proc. Institute of Radio Engineers. Vol. 37. No. 1. P. 10—21. Jan. 1949.

[10] К 100-летию со дня рождения академика Котельникова Владимира Александровича Архивная копия от 23 июня 2013 на Wayback Machine.

[11] Erik Meijering. A Chronology of Interpolation From Ancient Astronomy to Modern Signal and Image Processing, Proc. IEEE, 90, 2002. doi:10.1109/5.993400.

[12] Джерри А. Дж. Теорема отсчётов Шеннона, её различные обобщения и приложения. Обзор. — ТИИЭР, т. 65, № 11, 1977, с. 53—89.

[13] Хургин Я. И., Яковлев В. П. Прогресс в Советском Союзе в области теории финитных функций и её применений в физике и технике. — ТИИЭР, 1977, т. 65, № 7, с. 16—45.

[14] Басараб М. А., Зелкин Е. Г., Кравченко В. Ф., Яковлев В. П. Цифровая обработка сигналов на основе теоремы Уиттекера-Котельникова-Шеннона. — М.: Радиотехника, 2004.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]