Теорема Дирихле о диофантовых приближениях

Теорема Дирихле о диофантовых приближениях гласит, что

Для любого вещественного числа $\alpha$ и натурального Q существуют целые p и q, $1\leqslant q\leqslant Q$, удовлетворяющие условию $|\alpha q-p|<{\frac {1}{Q}}$

Она является следствием принципа Дирихле. Теорема была доказана Дирихле в 1842 году.

Некоторые следствия

Пусть $\alpha$ — иррациональное число. Тогда существует бесконечное множество несократимых дробей ${\frac {p}{q}},$ неограниченно близких к $\alpha$ в следующем смысле:

$\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{2}}}$

Практическое построение таких приближений несложно выполнить с помощью цепных дробей.

Вариации и обобщения

Принцип Дирихле позволяет доказать и более общую теорему:

для любых вещественных чисел $\alpha _{1},...,\alpha _{n}$ и натурального $Q>1$ существуют такие целые $0<q<Q,a_{1},...,a_{n}$, что $|\alpha _{i}q-a_{i}|<{\frac {1}{\sqrt[{n}]{Q}}}$

Литература

• Нестеренко Ю. В. Теория чисел: учебник для студ. высш. учеб. заведений. — М.: Издательский центр "Академия", 2008. — 272 с. — ISBN 978-5-7695-4646-4.