Теорема Банаха об обратном операторе

Теорема Банаха об обратном операторе — один из трёх основных принципов «банаховой» теории линейных операторов (два других — теорема Хана — Банаха и принцип равномерной ограниченности).

Формулировка

Если ограниченный линейный оператор $A$ отображает всё банахово пространство $E$ на всё банахово пространство $E_{1}$ взаимно однозначно, то существует линейный ограниченный оператор $A^{-1}$, обратный оператору $A$, отображающий $E_{1}$ на $E$.

Следствия

Теорема об открытом отображении

Основная статья: Теорема об открытом отображении

Линейное непрерывное отображение $A$ банахова пространства $E$ на всё банахово пространство $E_{1}$ открыто.

Лемма о тройке

Пусть $E,E_{1},E_{2}$ — банаховы пространства и $A\colon E\to E_{1}$, $B\colon E\to E_{2}$ — линейные непрерывные операторы, причем $B$ отображает $E$ на всё $E_{2}$ (то есть ${\mbox{Im}}\,B=E_{2}$). Если при этом ${\mbox{Ker}}\,A\supset {\mbox{Ker}}\,B,$ то существует такой линейный непрерывный оператор $C\colon E_{2}\to E_{1}$, что $A=CB$.

Здесь ${\mbox{Ker}}\,A$ — ядро, ${\mbox{Im}}\,A$ — образ оператора $A$. Символически утверждение леммы о тройке удобно изобразить такой схемой:

${\begin{array}{ccccc}{\mbox{Ker}}\,B&\to &E&{\xrightarrow {B}}&E_{2}\\\bigcap &&||&&\downarrow C\\{\mbox{Ker}}\,A&\to &E&{\xrightarrow {A}}&E_{1}\end{array}}$

Литература

• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит.. — М., 1976.
• Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа. — Изд. 2-е, перераб.. — М.: Наука, 1965. — 520 с.
• Вайнберг М. М. Функциональный анализ. — М.: Просвещение, 1979. — 128 с.