Линейный непрерывный оператор , действующий из линейного топологического пространства X в линейное топологическое пространство Y — это линейное отображение из X в Y, обладающее свойством непрерывности.
Термин «линейный непрерывный оператор» обычно употребляют в случае, когда Y многомерно. Если Y одномерно, т.е. совпадает с самими полем ( или ), то принято использовать термин линейный непрерывный функционал[1]. Множество всех линейных непрерывных операторов из X в Y обозначается .
В теории нормированных пространств линейные непрерывные операторы более известны как ограниченные линейные по нижеизложенной причине. Теория линейных непрерывных операторов играет важную роль в функциональном анализе, математической физике и вычислительной математике.
Свойства
править- Если X конечномерно, то любой линейный оператор непрерывен.
- Непрерывность линейного оператора в нуле равносильна его непрерывности в любой другой точке (и, следовательно, во всём X).
- Для нормированных пространств условия непрерывности и ограниченности (т.е. конечности операторной нормы) равносильны.[2]. В общем случае из непрерывности линейного оператора следует ограниченность, но обратное верно не всегда.
- Если X и Y — банаховы пространства, и образ оператора совпадает с пространством Y, то существует обратный оператор (т.н. теорема об обратном операторе).
- Множество всех линейных непрерывных операторов из X в Y само является линейным топологическим пространством. Если X и Y нормированы, то также нормировано операторной нормой. Если Y — банахово, то и является таковым, независимо от полноты X.
Свойства линейного непрерывного оператора сильно зависят от свойств пространств X и Y. Например, если X — конечномерное пространство, то оператор будет вполне непрерывным оператором, область его значений будет конечномерным линейным подпространством, и каждый такой оператор можно представить в виде матрицы[3].
Непрерывность и сходящиеся последовательности
правитьЛинейный оператор , действующий из линейного топологического пространства X в линейное топологическое пространство Y, непрерывен тогда и только тогда, когда для любой последовательности точек X, из следует .
Пусть ряд сходится и — линейный непрерывный оператор. Тогда справедливо равенство
- .
Это означает, что к сходящимся рядам в линейных топологических пространствах непрерывный линейный оператор можно применять почленно.
Если X, Y — банаховы пространства, то непрерывный оператор переводит каждую слабо сходящуюся последовательность в слабо сходящуюся:
- если слабо, то слабо.
Связанные определения
править- Линейный оператор называется ограниченным снизу, если .
См. также
правитьЛитература
править- Треногин В. А. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1980. — 495 с.
- Халмош П. Конечномерные векторные пространства = Finite-dimensional vector spaces. — М.: Физматгиз, 1963. — 264 с.
- Шилов Г.Е. Математический анализ (функции одного переменного), часть 3. — М.: Наука, 1970. — 352 с.
Примечания
править- ↑ Линейные непрерывные функционалы обладают специфическими свойствами, не имеющими места в общем случае, и порождают особенные математические структуры, поэтому теорию линейных непрерывных функционалов рассматривают отдельно от общей теории.
- ↑ Наймарк М. А. Нормированные кольца. — М.: Наука, 1968. — 664 с. Архивировано 2 октября 2021 года.
- ↑ Также, в конечномерном пространстве с базисом , линейный непрерывный оператор можно представить в виде , где — функции из сопряжённого пространства.
Для улучшения этой статьи желательно:
|