Теорема Адамара о степенном ряде

Теорема Адамара о степенном ряде (также теорема Коши — Адамара) — утверждение, которое даёт оценку радиуса сходимости степенных рядов для некоторых случаев. Названа в честь французских математиков Коши и Адамара. Теорема была опубликована Коши в 1821, но оставалась незамеченной пока Адамар не переоткрыл её. Адамар опубликовал результат в 1888 году. Он также включил его в докторскую диссертацию в 1892 году.

Формулировка

Пусть $\sum _{\nu =0}^{+\infty }a_{\nu }(z-z_{0})^{\nu }$ — степенной ряд с радиусом сходимости $R$. Тогда:

$(\alpha )$ если верхний предел $\varlimsup \limits _{\nu \to +\infty }{\sqrt[{\nu }]{|a_{\nu }|}}$ существует и положителен, то $R={\frac {1}{\varlimsup \limits _{\nu \to +\infty }{\sqrt[{\nu }]{|a_{\nu }|}}}}$;

$(\beta )$ если $\varlimsup \limits _{\nu \to +\infty }{\sqrt[{\nu }]{|a_{\nu }|}}=0$, то $R=+\infty$;

$(\gamma )$ если верхнего предела $\varlimsup \limits _{\nu \to +\infty }{\sqrt[{\nu }]{|a_{\nu }|}}$ не существует, то $R=0$.

Доказательство

$(\alpha )$ Пусть $\lambda =\varlimsup \limits _{\nu \to +\infty }{\sqrt[{\nu }]{|a_{\nu }|}}\in (0;+\infty )$.

Если точка $z\in \mathbb {C}$ такова, что $|z-z_{0}|<{\frac {1}{\lambda }}$, то $\varlimsup \limits _{\nu \to +\infty }{\sqrt[{\nu }]{|a_{\nu }{(z-z_{0})}^{\nu }|}}<1$ и можно найти такое число $q<1$, что почти для всех $\nu$ будет выполняться ${\sqrt[{\nu }]{|a_{\nu }{(z-z_{0})}^{\nu }|}}<q\,$. Из этого неравенства следует, что геометрическая прогрессия $\sum _{\nu =0}^{+\infty }q^{\nu }$ является сходящейся мажорантой ряда $\sum _{\nu =0}^{+\infty }|a_{\nu }{(z-z_{0})}^{\nu }|$, то есть $R={\frac {1}{\lambda }}$.

Если, наоборот, точка $z\in \mathbb {C}$ удовлетворяет условию $|z-z_{0}|>{\frac {1}{\lambda }}$, то $\varlimsup \limits _{\nu \to +\infty }({\sqrt[{\nu }]{|a_{\nu }|}}\cdot |z-z_{0}|)>1$ и для бесконечного множества номеров $\nu$ будет выполняться $|a_{\nu }{(z-z_{0})}^{\nu }|\geqslant 1$. Следовательно, ряд $\sum _{\nu =0}^{+\infty }|a_{\nu }(z-z_{0})^{\nu }|$ в точке $z$ расходится, поскольку его члены не стремятся к нулю.

$(\beta )$ Пусть $\lambda =\varlimsup \limits _{\nu \to +\infty }{\sqrt[{\nu }]{|a_{\nu }|}}=0$. Тогда для каждого $z\in \mathbb {C}$ последовательность ${\sqrt[{\nu }]{|a_{\nu }{(z-z_{0})}^{\nu }|}}$ сходится к нулю. Поэтому, если выбрать число $q=q(z)\in (0;1)$, то для почти всех номеров $\nu$ будет выполняться неравенство $|a_{\nu }{(z-z_{0})}^{\nu }|<q^{\nu }$, откуда, как и в $(\alpha )$, следует сходимость ряда в точке $z$. Формально $R={\frac {1}{+0}}=+\infty$.

$(\gamma )$ Верхнего предела $\varlimsup \limits _{\nu \to +\infty }{\sqrt[{\nu }]{|a_{\nu }|}}$ в $\mathbb {R}$ не существует (т.е. формально $\lambda =\varlimsup \limits _{\nu \to +\infty }{\sqrt[{\nu }]{|a_{\nu }|}}=+\infty \in {\overline {\mathbb {R} }}$) в том и только том случае, если последовательность ${\sqrt[{\nu }]{|a_{\nu }|}}$ неограничена сверху. Если $z\neq z_{0}$, то неограничена и последовательность ${\sqrt[{\nu }]{|a_{\nu }{(z-z_{0})}^{\nu }|}}$. Поэтому ряд $\sum _{\nu =0}^{+\infty }a_{\nu }(z-z_{0})^{\nu }$ в точке $z\neq z_{0}$ расходится. Следует отметить, что при $z=z_{0}$ ряд $\sum _{\nu =0}^{+\infty }a_{\nu }(z-z_{0})^{\nu }$ сходится к $a_{0}$. Окончательно $R=0$ (т.е. формально $R={\frac {1}{+\infty }}=+0$, фактически $R=\varliminf \limits _{\nu \to +\infty }{\frac {1}{\sqrt[{\nu }]{|a_{\nu }|}}}=0$).

Литература

• Грауэрт Г., Либ И., Фишер В. Дифференциальное и интегральное исчисления, М., Мир, 1971