Сферический сегмент

Сфери́ческий сегме́нт — поверхность, часть сферы, отсекаемая от неё некоторой плоскостью. Плоскость отсекает два сегмента: меньший сегмент называется также сферическим кругом. Если секущая плоскость проходит через центр сферы, то высота обоих сегментов равна радиусу сферы, и каждый из таких сферических сегментов называют полусферой.

Пример сферического сегмента (окрашен синим цветом). Вторая половина сферы также представляет собой сферический сегмент

Шарово́й сегме́нт — геометрическое тело, часть шара, отсекаемая от него некоторой плоскостью. Поверхностью шарового сегмента является объединение сферического сегмента и круга (основания шарового сегмента), границы которых совпадают.

Объём и площадь поверхности

Если радиус основания сегмента равен $a$, высота сегмента равна $h$, тогда объём шарового сегмента равен

$V={\frac {\pi h}{6}}(3a^{2}+h^{2}),$

площадь поверхности сегмента равна

$A=2\pi rh$

или

$A=2\pi r^{2}(1-\cos \theta ).$

Параметры $a$, $h$ и $r$ связаны соотношениями

$r^{2}=(r-h)^{2}+a^{2}=r^{2}+h^{2}-2rh+a^{2},$

$r={\frac {a^{2}+h^{2}}{2h}}.$

Подстановка последнего выражения в первую формулу для вычисления площади приводит к равенству

$A=2\pi {\frac {(a^{2}+h^{2})}{2h}}h=\pi (a^{2}+h^{2}).$

Заметим, что в верхней части сферы (синий сегмент на рисунке) $h=r-{\sqrt {r^{2}-a^{2}}},$ в нижней части сферы $h=r+{\sqrt {r^{2}-a^{2}}},$ следовательно, для обоих сегментов справедливо выражение $a={\sqrt {h(2r-h)}}$ и можно привести другое выражение для объёма:

$V={\frac {\pi h^{2}}{3}}(3r-h).$

Формула для определения объёма также может быть получена при интегрировании поверхности вращения:

$V=\int _{x}^{r}\pi \left(r^{2}-x^{2}\right)dx=\pi \left({\frac {2}{3}}r^{3}-r^{2}x+{\frac {1}{3}}x^{3}\right)={\frac {\pi }{3}}r^{3}(\cos \theta +2)(\cos \theta -1)^{2}.$

Применение

Объём объединения и пересечения двух пересекающихся сфер

Объём объединения двух сфер радиусов r₁ и r₂ равен

$V=V^{(1)}-V^{(2)}$,

где

$V^{(1)}={\frac {4\pi }{3}}r_{1}^{3}+{\frac {4\pi }{3}}r_{2}^{3}$

является суммой объёмов двух сфер по отдельности, а

$V^{(2)}={\frac {\pi h_{1}^{2}}{3}}(3r_{1}-h_{1})+{\frac {\pi h_{2}^{2}}{3}}(3r_{2}-h_{2})$

является суммой объёмов двух сферических сегментов, образующих пересечение данных сфер. Пусть d < r₁ + r₂ — расстояние между центрами сфер, тогда исключение величин h₁ и h₂ приводит к выражению

$V^{(2)}={\frac {\pi }{12d}}(r_{1}+r_{2}-d)^{2}\left(d^{2}+2d(r_{1}+r_{2})-3(r_{1}-r_{2})^{2}\right).$

Площадь поверхности, ограниченной кругами разных широт

Площадь поверхности, ограниченной кругами разных широт, является разностью площадей поверхности двух соответствующих сферических сегментов. Для сферы радиуса r и широт φ₁ и φ₂ данная площадь равна

$A=2\pi r^{2}|\sin \varphi _{1}-\sin \varphi _{2}|.$

Площадь квадратного участка поверхности шара

Участок, вырезанный на сфере радиуса r четырьмя дугами больших кругов, имеющими одинаковую угловую длину θ и попарно перпендикулярными (сферический квадрат, аналог квадрата на плоскости), имеет площадь

$A=8r^{2}(1-\cos \theta /2).$

Если угол θ мал (по сравнению с 1 радианом), то справедливо приближённое равенство, основывающееся на приближении $\cos x\to 1-x^{2}/2$ при $x\to 0:$

$A\approx 8r^{2}{\frac {\theta ^{2}}{8}}=r^{2}\theta ^{2}.$

Например, площадь квадратного участка поверхности Земли (R_⊕ = 6378 км) со сторонами, равными 1 градусу, составляет

$A(1^{\circ })=8\cdot R_{\oplus }^{2}(1-\cos 0{,}5^{\circ })\approx R_{\oplus }^{2}\cdot \left({\frac {\pi }{180}}\right)^{2}\approx 12\,391\,{\text{км}}^{2}.$

1 квадратная секунда поверхности Земли имеет площадь в 3600² раз меньше: A(1′′) ≈ 12 391 км² / (60 · 60)² ≈ 956 м².

Обобщения

Сечения других тел

Сфероидальный сегмент получается при отсечении части сфероида таким образом, что она обладает круговой симметрией (обладает осью вращения). Аналогичным образом определяют эллипсоидальный сегмент.

Сегмент гиперсферы

Объём $n$-мерного сегмента гиперсферы высотой $h$ и радиуса $r$ в $n$-мерном евклидовом пространстве определяется по формуле

$V={\frac {\pi ^{\frac {n-1}{2}}\,r^{n}}{\,\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}\right)}}\int \limits _{0}^{\arccos \left({\frac {r-h}{r}}\right)}\sin ^{n}t\,\mathrm {d} t,$

где $\Gamma$ (гамма-функция) задаётся выражением $\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}\mathrm {e} ^{-t}\,\mathrm {d} t.$

Выражение для объёма $V$ можно переписать в терминах объёма единичного $n$-мерного шара $C_{n}={\pi ^{n/2}/\Gamma \left[1+{\frac {n}{2}}\right]}$ и гипергеометрической функции ${}_{2}F_{1}$ или регуляризованной неполной бета-функции $I_{x}(a,b)$ как

$V=C_{n}\,r^{n}\left({\frac {1}{2}}\,-\,{\frac {r-h}{r}}\,{\frac {\Gamma [1+{\frac {n}{2}}]}{{\sqrt {\pi }}\,\Gamma [{\frac {n+1}{2}}]}}{\,\,}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1-n}{2}};{\tfrac {3}{2}};\left({\tfrac {r-h}{r}}\right)^{2}\right)\right)={\frac {1}{2}}C_{n}\,r^{n}I_{(2rh-h^{2})/r^{2}}\left({\frac {n+1}{2}},{\frac {1}{2}}\right).$

Формула для площади поверхности $A$ может быть записана в терминах площади поверхности единичного $n$-мерного шара $A_{n}={2\pi ^{n/2}/\Gamma \left[{\frac {n}{2}}\right]}$ как

$A={\frac {1}{2}}A_{n}\,r^{n-1}I_{(2rh-h^{2})/r^{2}}\left({\frac {n-1}{2}},{\frac {1}{2}}\right),$

где $0\leq h\leq r.$

Также справедливы следующие формулы: $A=A_{n}p_{n-2}(q),\quad V=V_{n}p_{n}(q),$ где $q=1-h/r(0\leq q\leq 1),\quad p_{n}(q)={\frac {1-G_{n}(q)/G_{n}(1)}{2}},$

$G_{n}(q)=\int \limits _{0}^{q}(1-t^{2})^{(n-1)/2}dt.$

При $n=2k+1:$

$G_{n}(q)=\sum _{i=0}^{k}(-1)^{i}{\binom {k}{i}}{\frac {q^{2i+1}}{2i+1}}.$

Было показано, что при $n\to \infty$ и $q{\sqrt {n}}={\text{const }}$ $p_{n}(q)\to 1-F({q{\sqrt {n}}}),$ где $F()$ — стандартное нормальное распределение.

Литература

• А. И. Маркушевич, А. Я. Хинчин, П. С. Александров. Основные понятия сферической геометрии // Энциклопедия элементарной математики. Книга 4 - Геометрия. — Москва: ГИФМЛ, 1963.