Стрелка Пирса

Стре́лка Пи́рса (функция Вебба, отрицание дизъюнкции) — бинарная логическая операция, булева функция над двумя переменными. Введена в рассмотрение Чарльзом Пирсом в 1880—1881 годах.

Стрелка Пирса
ИЛИ-НЕ, NOR
Диаграмма Венна
Определение	${\overline {x+y}}$
Таблица истинности	$(1000)$
Логический вентиль
Нормальные формы
Дизъюнктивная	${\overline {x}}\cdot {\overline {y}}$
Конъюнктивная	Невозможно разобрать выражение (SVG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «http://localhost:6011/ru.wiki.x.io/v1/»:): {\displaystyle \overline{x} \cdot \overline{y}}
Полином Жегалкина	$1\oplus x\oplus y\oplus xy$
Принадлежность предполным классам
Сохраняет 0	Нет
Сохраняет 1	Нет
Монотонна	Нет
Линейна	Нет
Самодвойственна	Нет

Стрелка Пирса, обычно обозначаемая ↓, эквивалентна операции ИЛИ-НЕ (дополнение объединения множества) и задаётся в виде двумерной (двухаргументной, двухкоординатной) диаграммы (двумерного массива) истинности из четырёх ячеек:

x↓y = x NOR y = NOT(x OR y) = !(x||y)
y
0  0  
1  0 x

на которой сразу видно, что функция симметрична относительно главной диагонали, или в виде таблицы истинности из трёх колонок (двенадцать ячеек):

$a$	$b$	$a\downarrow b$
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	0

Таким образом, высказывание «X ↓ Y» означает «(не X) и (не Y)», или, что то же самое, «не (X или Y)». Операция NOR коммутативна: от перемены мест операндов результат операции не изменяется.

УГО 2ИЛИ-НЕ по стандартам IEC и ANSI

Стрелка Пирса, как и штрих Шеффера, образует функционально-полный логический базис для пространства булевых функций от двух переменных. Это означает, что, используя только стрелку Пирса, можно построить все остальные логические операции, например:

$X\downarrow X\equiv \neg X$ — отрицание;

$\left({X\downarrow X}\right)\downarrow \left({Y\downarrow Y}\right)\equiv {X\wedge Y}$ — конъюнкция;

$\left({X\downarrow Y}\right)\downarrow \left({X\downarrow Y}\right)\equiv X\vee Y$ — дизъюнкция;

$\left(\left({X\downarrow X}\right)\downarrow Y\right)\downarrow \left(\left({X\downarrow X}\right)\downarrow Y\right)\equiv X\rightarrow Y$ — импликация.

В электронике это означает, что для реализации всего многообразия схем преобразования сигналов, представляющих логические значения, достаточно одного типового элемента, который носит название «операция 2ИЛИ-НЕ» (2-in NOR). С другой стороны, такой подход увеличивает сложность реализующих выражения схем и тем самым снижает их надёжность, а также увеличивает время прохождения сигнала и снижает быстродействие устройства.

Функциональная операция, выполняемая при $n$ входах, определяется следующим выражением:

$F={\overline {x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+...x_{n}}}.$

Схемы

Реализация вентиля 2ИЛИ-НЕ с помощью диодно-транзисторной логики

Реализация вентиля 2ИЛИ-НЕ с помощью МОП

Говоря простым языком, вентиль 2ИЛИ-НЕ — это 2ИЛИ с подключённым к нему инвертором. Для наглядности — ниже приведён пример логической схемы 2ИЛИ-НЕ с выключателями. Как известно, логика 2ИЛИ близка к выражению «или A, или B, или то и другое». Чтобы получить операцию 2ИЛИ-НЕ, результат 2ИЛИ необходимо инвертировать, чтобы получить «не (A или B)». На схеме ниже это выглядит следующим образом: серым отмечены выключатели в состоянии «выключено», синим — в состоянии «включено». На верхней левой схеме оба выключателя находятся в положении «выключено». Таким образом, следуя выражению на выходе, получаем логический 0. Инвертированный результат будет равен 1 и тем самым будет логически удовлетворять выражению «не А, не B». Следующие схемы демонстрируют соответственно «ИЛИ А», «ИЛИ B», «И А, И B» с последующей инверсией результата.

Наглядные схемы 2ИЛИ-НЕ на выключателях

Слева представлены варианты реализации вентиля 2ИЛИ-НЕ с помощью диодно-транзисторной логики и с помощью МОП соответственно.

Представленная схема на МОП выполнена на однотипных МОП-транзисторах, однако существуют вариант схемы 2ИЛИ-НЕ на комплементарных (дополняющих) МОП-транзисторах. Такую схему получают путём последовательного соединения однотипных транзисторов и параллельного соединения группы транзисторов другого типа.

Программная реализация

На TurboBasic'e:^{[значимость факта?]}

'2-in NOR, (Peirce, Quine, Webb)
CLS
COLOR 10

DATA 1,0,0,0 '2-in NOR

DEFINT I,J,P,Q,F
DIM F1[1,1]

FOR I=0 TO 1
  FOR J=0 TO 1
    READ F1[J,I]
    'PRINT USING "#";F1[J,I];
  NEXT J
NEXT I

PRINT "F1(P,Q) = {";
FOR Q=1 TO 0 STEP -1
  FOR P=1 TO 0 STEP -1
    F1 = F1[P,Q]        'PROGRAMM TABLE ALU
    PRINT USING "#";F1;
  NEXT P
NEXT Q
PRINT "} TABLE"

PRINT "F1(P,Q) = {";
FOR Q=-1 TO 0
  FOR P=-1 TO 0
    F1 = -NOT(P OR Q)   'ELECTRONIC LOGIC ALU
    PRINT USING "#";F1;
  NEXT P
NEXT Q
PRINT "} LOGIC"

END

На C:^{[значимость факта?]}

// Программная реализация функции "стрелка Пирса" 
//в виде двумерного массива (табличная) и
//в виде логического уравнения (логическая)
#include <stdio.h>  //printf();getchar();

int main()
{ 
   int f1[2][2] = {1,0,0,0}; /*задание функции в виде двумерного массива (табличное, аппаратное АЛУ не требуется)*/
   int p,q,f;     

   printf("f1(p,q)={");
   for(p=1;p>=0;p--)
   {
      for(q=1;q>=0;q--)
      {
         f = f1[p][q]; /*программное табличное вычисление функции (аппаратное АЛУ не требуется)*/
         printf("%i", f);
      }
   }
   printf("} table\n");

   printf("f1(p,q)={");
   for(p=1;p>=0;p--)
   {
      for(q=1;q>=0;q--)
      {
         f = !(p||q); /*задание функции в виде логического уравнения (логическое, требуется аппаратное АЛУ)*/
         printf("%i", f);
      }
   }
   printf("} logic\n");

  getchar();
  return 0;
}

На заре электронной вычислительной техники Джон фон Нейман определил, что для логических вычислений процессор должен содержать аппаратное АЛУ. Такая архитектура процессора называется архитектура фон Неймана.^{[значимость факта?]}

При программном же табличном вычислении логических функций аппаратное АЛУ в процессоре не требуется, что удешевляет процессор и, из-за уменьшения электроники, повышает надёжность процессора (дешевле и надёжнее).^{[значимость факта?]}

В процессорах же с аппаратными АЛУ программное табличное вычисление логических функций может быть полезным дополнением, повышающим надёжность процессора, так как в случае неисправности аппаратного АЛУ можно переключиться на программное табличное вычисление логических функций^{[значимость факта?]}.

См. также

• Идентичность
• Отрицание
• Конъюнкция
• Дизъюнкция
• Эквиваленция
• Исключающее или
• Импликация
• Обратная импликация
• Штрих Шеффера
• Условная дизъюнкция
• Таблица истинности
• Закон тождества

Литература

• Математический энциклопедический словарь. — М.: «Советская энциклопедия», 1988. — С. 457—457.
• Белоусов, Аркадий Алгебра логики и цифровые компьютеры
• Терещук Д. С. Логическое моделирование СБИС на переключательном уровне
• Ю. С. Забродин «Промышленная электроника» — С. 221.