Случайный процесс

Случа́йный проце́сс (вероятностный процесс, случайная функция, стохастический процесс) в теории вероятностей — семейство случайных величин, индексированных некоторым параметром, чаще всего играющим роль времени или координаты^[4]^[5]^[3].

Компьютерная реализация на поверхности сферы. Винеровский процесс считается наиболее изученным и центральным стохастическим процессом в теории вероятностей.^[1]^[2]^[3]

Определение

Пусть $(E,{\mathfrak {B}})$ — измеримое пространство, $T$ множество значений параметра $t$ . Функция $\xi =\xi (t)$ параметра $t\in T$ , значениями которой являются случайные величины $\xi (t)=\xi (\omega ,t)$ на пространстве элементарных событий $(\Omega ,{\mathfrak {A}},\mathbb {P} )$ в фазовом пространстве $(E,{\mathfrak {B}})$ , называется случайным процессом в фазовом пространстве $(E,{\mathfrak {B}})$ .^[6]

Терминология

Используемые в области исследований и прикладного применения случайных процессов классификация и терминология являются нестрогими. В частности, термин «случайный процесс» часто используется как безусловный синоним термина «случайная функция».^[7] В зависимости от вида множества $T$ часто применяются следующие термины.

Если $T\subset \mathbb {R}$ , то параметр $t\in T$ может интерпретироваться как время. Тогда случайная функция $\{X_{t}\}$ называется случайным процессом. Если множество $T$ дискретно, например $T\subset \mathbb {N}$ , то такой случайный процесс называется случа́йной после́довательностью.

Если $T\subset \mathbb {R} ^{n}$ , где $n\geqslant 1$ , то параметр $t\in T$ может интерпретироваться как точка в пространстве, и тогда случайную функцию называют случа́йным по́лем.

Основные сведения

Всевозможные совместные распределения вероятностей значений $\xi (t_{1}),...,\xi (t_{n}),t_{1},...,t_{n}\in T$ :

P_{t_{1}},...,_{t_{n}}(B_{1},...B_{n})=P\left\{\xi (t_{1})\in B_{1},...,\xi (t_{n})\in B_{n}\right\}(B_{1},...B_{n}\in {\mathfrak {B}})

называются конечномерными распределениями вероятностей случайного процесса $\xi =\xi (t)$ .
Случайные процессы $\xi =\xi (t)$ и $\eta =\eta (t)$ , принимающие значение в фазовом пространстве $(E,{\mathfrak {B}})$ называются эквивалентными, если при любом $t\in T$ эквивалентны соответствующие значения $\xi (t)=\xi (\omega ,t)$ и $\eta (t)=\eta (\omega ,t)$ .

При каждом фиксированном $\omega \in \Omega$ функция $\xi (t)=\xi (\omega ,t)$ параметра $t$ со значениями в фазовом пространстве $(E,{\mathfrak {B}})$ называется реализацией или траекто́рией случайного процесса $\xi =\xi (t)$ . Случайный процесс $\xi =\xi (t)$ называется непосредственно заданным, если каждый элементарный исход описывается соответствующей траекторией $x=x(t)$ в функциональном пространстве $E=E^{T}$ всех функций на множестве $T$ со значениями в фазовом пространстве $(E,{\mathfrak {B}})$ ; точнее, если $\Omega =X$ и $\sigma$ -алгебра ${\mathfrak {A}}$ порождается всевозможными цилиндрическими множествами ${x(t_{1})\in B_{1},...,x(t_{n})\in B_{n}}$ , где $t_{1},...,t_{n}\in T$ и $B_{1},...B_{n}\in {\mathfrak {B}}$ , а значения $\xi (t)=\xi (x,t)$ имеют вид $\xi (x,t)=x(t)$ , $x\in X$ . Любому случайному процессу можно поставить в соответствие непосредственно заданный случайный процесс с теми же самыми конечномерный распределениями. Для каждого согласованного семейства конечномерных распределений вероятностей $P_{t_{1}},...,_{t_{n}}(B_{1},...B_{n})$ ( $t_{1},...,t_{n}\in T,B_{1},...B_{n}\in {\mathfrak {B}})$ таких, что $P_{t}=P_{t}(B),t\in T$ , являются плотными мерами в фазовом топологическом пространстве $(E,{\mathfrak {B}})$ , существует непосредственно заданный случайный процесс $\xi =\xi (t)$ с такими же конечномерными распределениями вероятностей.

Ковариационная функция. Пусть $\xi =\xi (t)$ действительный или комплексный случайный процесс на множестве $T$ , имеющий вторые моменты: $E|\xi (t)|^{2}<\infty$ . Значения случайного процесса $\xi =\xi (t)$ можно рассматривать как элементы гильбертова пространства $L^{2}(\Omega )$ — пространства всех случайных величин $\eta$ , $E|\eta (t)|^{2}<\infty$ , со скалярным произведением

({\eta }_{1},{\eta }_{2})=E{\eta }_{1}{\overline {\eta }}_{2}

.

Важнейшими характеристиками такого случайного процесса $\xi (t)$ являются его математическое ожидание

A(t)=E\xi (t)=(\xi (t),1)

и ковариационная функция

B(s,t)=E{\xi (s)}{\overline {\xi (t)}}=(\xi (s),\xi (t))

.

Вместо ковариационной функции может применятся корреляционная функция $B(s,t)=E{\xi (s)}{\overline {\xi (t)}}-A(s){\overline {A(t)}}$ , являющуюся ковариационной функцией процесса $\xi (t)-A(t)$ с нулевым математическим ожиданием.
При равенстве аргументов ( $s=t$ ) корреляционная функция равна дисперсии случайного процесса

B(s,s)=E(\xi (s)-A(s))({\overline {\xi (s)-A(s)}})=D(s)

.

Функция $B(s,t)$ двух переменных $s$ и $t$ является ковариационной функцией некоторого случайного процесса $\xi (t)$ , $E|\xi (t)|^{2}<\infty$ , тогда и только тогда, когда она для всех $n=1,2,...$ удовлетворяет следующему условию положительной определённости:

\sum _{k=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{B(t_{k},t_{j})c_{k}}{\overline {c_{j}}}\geqslant 0

для любых $t_{1},t_{2},...t_{n}\in T$ и любых комплексных чисел $c_{1},c_{2}...,c_{n}$ .

Классификация

Случайный процесс $X(t)$ называется процессом дискретным во времени, если система, в которой он протекает, меняет свои состояния только в моменты времени $\;t_{1},t_{2},\ldots$ , число которых конечно или счётно. Случайный процесс называется процессом с непрерывным временем, если переход из состояния в состояние может происходить в любой момент времени.
Случайный процесс называется процессом с непрерывными состояниями, если значением случайного процесса является непрерывная случайная величина. Случайный процесс называется случайным процессом с дискретными состояниями, если значением случайного процесса является дискретная случайная величина:
Случайный процесс называется стационарным, если все многомерные законы распределения зависят только от взаимного расположения моментов времени $\;t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n}$ , но не от самих значений этих величин. Другими словами, случайный процесс называется стационарным, если его вероятностные закономерности неизменны во времени. В противном случае, он называется нестационарным.
Случайная функция называется стационарной в широком смысле, если её математическое ожидание и дисперсия постоянны, а АКФ зависит только от разности моментов времени, для которых взяты ординаты случайной функции. Понятие ввёл А. Я. Хинчин.
Случайный процесс называется процессом со стационарными приращениями определённого порядка, если вероятностные закономерности такого приращения неизменны во времени. Такие процессы были рассмотрены Ягломом^[8].
Если ординаты случайной функции подчиняются нормальному закону распределения, то и сама функция называется нормальной.
Случайные функции, закон распределения ординат которых в будущий момент времени полностью определяется значением ординаты процесса в настоящий момент времени и не зависит от значений ординат процесса в предыдущие моменты времени, называются марковскими.
Случайный процесс называется процессом с независимыми приращениями, если для любого набора $t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n}$ , где $n>2$ , а $t_{1}<t_{2}<\ldots <t_{n}$ , случайные величины $(X_{t_{2}}-X_{t_{1}})$ , $(X_{t_{3}}-X_{t_{2}})$ , $\ldots$ , $(X_{t_{n}}-X_{t_{n-1}})$ независимы в совокупности.
Если при определении моментных функций стационарного случайного процесса операцию усреднения по статистическому ансамблю можно заменить усреднением по времени, то такой стационарный случайный процесс называется эргодическим.
Среди случайных процессов выделяют импульсные случайные процессы.
Ветвящийся случайный процесс может описывать явления, связанные с размножением, делением или превращениями объектов.

Примеры

$\{X_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ , где $\;X_{i}\sim \mathrm {N} (0,1)$ называется стандартной гауссовской (нормальной) случайной последовательностью.
Пусть $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ , и $Y$ — случайная величина. Тогда $X_{t}(\omega )=f(t)\cdot Y(\omega )$ является случайным процессом.
Пусть $\{\xi _{n},n\in \mathbb {N} \}$ — н.о.р.с.в., неотрицательные и невырожденные ( $\not =const$ п.н.). $S_{0}:=0,S_{n}:=\xi _{1}+\dots +\xi _{n}$ . Тогда процесс $X_{t}=\sup\{n:S_{n}\leq t\},t\geq 0$ называется процессом восстановления, построенным по $\{\xi _{n},n\in \mathbb {N} \}$ .

См. также

Примечания

↑ Joseph L. Doob. Stochastic Processes. — Wiley, 1962. — 676 с.
↑ L. C. G. Rogers, David Williams. Diffusions, Markov Processes, and Martingales: Volume 1, Foundations. — Cambridge University Press, 2000-04-13. — 412 с. — ISBN 978-1-107-71749-7.
↑ ¹ ² J. Michael Steele. Stochastic Calculus and Financial Applications. — Springer Science & Business Media, 2012-12-06. — 303 с. — ISBN 978-1-4684-9305-4.
↑ Emanuel Parzen. Stochastic Processes. — Courier Dover Publications, 2015-06-17. — 340 с. — ISBN 978-0-486-79688-8.
↑ Iosif Il?ich Gikhman, Anatoli? Vladimirovich Skorokhod. Introduction to the Theory of Random Processes. — Courier Corporation, 1996-01-01. — 548 с. — ISBN 978-0-486-69387-3.
↑ ¹ ² Прохоров Ю. В., Розанов Ю. А. Теория вероятностей (Основные понятия. Предельные теоремы. Случайные процессы) — М.: Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», 1973. — 496 стр.
↑ Случайная функция (неопр.). www.booksite.ru. Дата обращения: 20 августа 2021. Архивировано 20 августа 2021 года.
↑ Яглом А. М. Корреляционная теория процессов со случайными стационарными параметрическими приращениями // Математический сборник. Т. 37. Вып. 1. С. 141—197. — 1955.

Литература

Свешников А. А. Прикладные методы теории случайных функций. — Гл.ред.физ.-мат.лит., 1968.
Баскаков С. И. Радио/технические цепи и сигналы. — Высшая школа, 2000.
Натан А. А., Горбачёв О. Г., Гуз С. А. Основы теории случайных процессов : учеб. пособие по курсу «Случайные процессы» — М.: МЗ Пресс — МФТИ, 2003. — 168 с. ISBN 5-94073-055-8.
Вентцель Е. С., Овчаров Л. А. Теория случайных процессов и её инженерные приложения. — М.: Наука, 1991. — 384 с. — ISBN 5-02-014125-9.
Куликов Е. И. Методы измерения случайных процессов. — М.: Радио и связь, 1986. — 272 с.
Ралф Деч. Нелинейные преобразования случайных процессов. — М.: Советское радио, 19656. — 206 с.

[1] Joseph L. Doob. Stochastic Processes. — Wiley, 1962. — 676 с.

[2] L. C. G. Rogers, David Williams. Diffusions, Markov Processes, and Martingales: Volume 1, Foundations. — Cambridge University Press, 2000-04-13. — 412 с. — ISBN 978-1-107-71749-7.

[автоссылка1-3] ¹ ² J. Michael Steele. Stochastic Calculus and Financial Applications. — Springer Science & Business Media, 2012-12-06. — 303 с. — ISBN 978-1-4684-9305-4.

[4] Emanuel Parzen. Stochastic Processes. — Courier Dover Publications, 2015-06-17. — 340 с. — ISBN 978-0-486-79688-8.

[5] Iosif Il?ich Gikhman, Anatoli? Vladimirovich Skorokhod. Introduction to the Theory of Random Processes. — Courier Corporation, 1996-01-01. — 548 с. — ISBN 978-0-486-69387-3.

[ПрохоровРозанов-6] ¹ ² Прохоров Ю. В., Розанов Ю. А. Теория вероятностей (Основные понятия. Предельные теоремы. Случайные процессы) — М.: Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», 1973. — 496 стр.

[7] Случайная функция (неопр.). www.booksite.ru. Дата обращения: 20 августа 2021. Архивировано 20 августа 2021 года.

[8] Яглом А. М. Корреляционная теория процессов со случайными стационарными параметрическими приращениями // Математический сборник. Т. 37. Вып. 1. С. 141—197. — 1955.

[4]

[5]

[3]

[1]

[2]

[6]

[7]

[8]