Ветвящийся процесс

Ветвя́щийся проце́сс — случайный процесс, описывающий широкий круг явлений, связанных с размножением и превращением каких-либо объектов.

История

Термин «ветвящиеся процессы» был предложен А. Н. Колмогоровым в начале 1947 года и в силу своей удачности пришёл в другие языки в виде кальки: англ. branching processes, нем. Verzweigungsprozesse, швед. förgreningsprocesser. По воспоминаниям Б. А. Севастьянова, после появления в США в том же году аналогичных исследований, связанных с разработкой атомного оружия, работы по теории ветвящихся процессов были засекречены на пять лет до хрущёвской оттепели в связи с опасениями, что теория может служить общей моделью неких ядерных цепных реакций, пока академик Я. Б. Зельдович не дал заключение, что работы могут быть опубликованы.

Модели

Первыми рассмотренными моделями был ветвящийся процесс Гальтона — Ватсона и марковский ветвящийся процесс. Обобщениями этих двух моделей являются:

• Процесс Беллмана — Харриса
• Процесс Севастьянова
• Процесс Крампа — Мода — Ягерса

Марковский ветвящийся процесс

Рассмотрим физическую систему, состоящую из конечного числа частиц одного или нескольких типов, в которой каждая частица может, независимо от других, превратиться в одну или несколько других частиц или исчезнуть. Состояние системы (популяция) в момент времени $t$ — вектор количеств частиц каждого типа, выраженных целыми числами. Эволюцию такой системы можно считать стохастической и марковской, а соответствующий процесс — марковским ветвящимся процессом.

Марковскими ветвящимися процессами можно описывать различные явления природы: развитие биологических популяций, прохождение элементарных частиц через вещество, распространение эпидемий и т. п.

Литература

• Колмогоров А. Н., Дмитриев Н. А. Ветвящиеся случайные процессы // Доклады АН СССР : журнал. — М., 1947. — Т. 56, вып. 1. — С. 7-10.
• Гихман И. И., Скороход А. В. Часть V. Ветвящиеся процессы // Теория случайных процессов. — М.: Наука, 1973. — Т. II.
• Ватутин В. А., Зубков А. М. Ветвящиеся процессы. I // Итоги науки и техники. Серия «Теория вероятностей. Математическая статистика. Теоретическая кибернетика». — М.: ВИНИТИ, 1985. — Т. 23. — С. 3–67.
• Ватутин В. А., Дьяконова Е. Е., Топчий В. А. Критические процессы Гальтона–Ватсона со счетным множеством типов частиц и бесконечными вторыми моментами //Матем. сб., 212:1 (2021), 3–27
• Боровков А. А. Теория вероятностей. — М.: Наука, 1986.