Статистика (функция выборки)

Эта статья — о статистике в узком смысле, классе функций, используемых в математической статистике. О других значениях термина см. Статистика (значения).

Статистика — измеримая числовая функция от выборки, не зависящая от неизвестных параметров распределения элементов выборки.

Определение

Пусть задана случайная выборка $x^{m}=(x_{1},\ldots ,x_{m})$ наблюдений $x_{i}\in X$. Как правило, поскольку речь идёт о задачах математической статистики, распределение элементов этой выборки известно исследователю не полностью (например, содержит неизвестные числовые параметры).

Статистикой называется произвольная измеримая функция выборки $T:X^{m}\to \mathbb {R}$, которая не зависит от неизвестных параметров распределения.

Условие измеримости статистики означает, что эта функция является случайной величиной, то есть определены вероятности её попадания в интервалы и другие борелевские множества на прямой.

Наиболее содержательный аспект данного понятия, отличающий его от прочих случайных величин, зависящих от выборки, заключается в том, что от неизвестных параметров эта функция не зависит, то есть исследователь может по имеющимся в его распоряжении данным найти значение этой функции, а, следовательно — основывать на этом значении оценки и прочие статистические выводы.

Пример

Предположим, что имеется числовая выборка $x^{m}=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{m})$, элементы которой имеют нормальное распределение ${\mathcal {N}}(a,\sigma )$. Допустим, что значение параметра $a$ (математического ожидания) известно, то есть это некоторое конкретное число, а значение среднеквадратичного отклонения $\sigma$ неизвестно (и его требуется оценить). Для этого может быть использована следующая статистика:

$T={\frac {1}{m}}\sum _{i=1}^{m}(x_{i}-a)^{2}.$

Однако если значение параметра $a$ также неизвестно, то данная функция не является статистикой. В этом случае её по-прежнему можно исследовать теоретически (например, доказывать, что математическое ожидание $T$ равно $\sigma ^{2}$), однако вычислить её числовое значение нельзя, поэтому для получения непосредственных статистических выводов она не может быть использована. В этом случае оценка параметра $\sigma$ строится другим способом (см. ниже).

Ниже приведены примеры некоторых часто используемых статистик. Все они предполагают, что наблюдения $x_{i}$ являются числовыми, $X=\mathbb {R}$.

В последние годы активно развивается также статистика объектов нечисловой природы.

Статистики, используемые для оценки моментов (выборочные моменты)

• Выборочное среднее:

  ${\bar {x}}={\frac {1}{m}}\sum _{i=1}^{m}x_{i}.$

• Выборочная дисперсия:

  $s^{2}=s_{m}^{2}={\frac {1}{m}}\sum _{i=1}^{m}\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)^{2}$.

• Несмещённая оценка дисперсии:

  $s^{2}=s_{m}^{2}={\frac {1}{m-1}}\sum _{i=1}^{m}\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)^{2}.$

• Выборочный момент $k$-го порядка (выборочное среднее — момент первого порядка):

  $M_{k}={\frac {1}{m}}\sum _{i=1}^{m}x_{i}^{k}$.

• Выборочный центральный момент $k$-го порядка (выборочная дисперсия — центральный момент второго порядка):

  ${\overset {\circ }{M}}_{k}={\frac {1}{m}}\sum _{i=1}^{m}\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)^{k}$.

• Несмещённые оценки центральных моментов:

  ${\overset {\bullet }{M}}_{2}={\frac {m}{m-1}}{\overset {\circ }{M}}_{2}$;

  ${\overset {\bullet }{M}}_{3}={\frac {m^{2}}{(m-1)(m-2)}}{\overset {\circ }{M}}_{3}$;

  ${\overset {\bullet }{M}}_{4}={\frac {m(m^{2}-2m+3){\overset {\circ }{M}}_{4}+3m(2m-3){\overset {\circ }{M}}_{2}^{2}}{(m-1)(m-2)(m-3)}}$.

Выборочный коэффициент асимметрии

Выборочный коэффициент асимметрии:

$\gamma _{1}={\frac {{\overset {\bullet }{M}}_{3}}{{\overset {\bullet }{M}}_{2}^{3/2}}}={\frac {\sqrt {m(m-1)}}{m-2}}\left({\frac {{\overset {\circ }{M}}_{3}}{{\overset {\circ }{M}}_{2}^{3/2}}}\right)$.

Если плотность распределения симметрична, то $\gamma _{1}=0$. Если левый хвост распределения «тяжелее», то $\gamma _{1}>0$, если «тяжелее» правый хвост — то $\gamma _{1}<0$.

Выборочный коэффициент асимметрии используется для проверки распределения на симметричность, а также для грубой предварительной проверки на нормальность. Он позволяет отвергнуть, но не позволяет принять гипотезу нормальности.

Выборочный коэффициент эксцесса

Выборочный коэффициент эксцесса:

$\gamma _{2}={\frac {{\overset {\bullet }{M}}_{4}}{{\overset {\bullet }{M}}_{2}^{2}}}-3={\frac {m^{2}-1}{(m-2)(m-3)}}\left({\frac {{\overset {\circ }{M}}_{4}}{{\overset {\circ }{M}}_{2}^{2}}}-3+{\frac {6}{m+1}}\right)$.

Нормальное распределение имеет нулевой эксцесс: $\gamma _{2}=0$.

Если хвосты распределения «легче», а пик «острее», чем у нормального распределения, то $\gamma _{2}>0$.

Если хвосты распределения «тяжелее», а пик более «приплюснутый», чем у нормального распределения, то $\gamma _{2}<0$.

Выборочный коэффициент эксцесса часто используется для грубой предварительной проверки на нормальность. Он позволяет отвергнуть, но не позволяет принять гипотезу нормальности.

Статистики, связанные с эмпирическим распределением

Эмпирическое распределение случайной величины $x$, построенное по случайной выборке $x^{m}$, есть функция:

$\displaystyle F_{m}(x)={\frac {1}{m}}\sum _{i=1}^{m}\left[x_{i}<x\right]$.

При любом фиксированном $a\in \mathbb {R}$ значение $F_{m}(a)$ можно рассматривать как статистику.

Порядковые статистики

Основная статья: Порядковая статистика

Порядковые статистики основаны на вычислении вариационного ряда, который получается из исходной выборки $x^{m}=(x_{1},\ldots ,x_{m})$ путём упорядочивания её элементов по возрастанию:

$x^{(1)}\leqslant x^{(2)}\leqslant \cdots \leqslant x^{(m)}$.

Значение $x^{(k)}$ называется $k$-й порядковой статистикой.

• Выборочный $\lambda$-квантиль при $0<\lambda <1$:

  $x^{(m\lambda +1)}.$

• Размах выборки:

  $\Delta =x^{(m)}-x^{(1)}$.

• Выборочная медиана:

  $\mu ={\begin{cases}{\frac {1}{2}}\left(x^{(k)}+x^{(k+1)}\right),&m=2k;\\x^{(k+1)},&m=2k+1\end{cases}}$.

Ранговые статистики

Основная статья: Ранговая статистика

Значение $r_{i}$ называется рангом элемента выборки $x_{i}$, если $x_{i}=x^{(r_{i})}$.

Ранговой статистикой называется любая статистика, которая является функцией от рангов элементов $r_{i}$, а не от их значений $x_{i}$. Переход от значений к их рангам позволяет строить непараметрические статистические критерии, которые не опираются на априорные предположения о функции распределения выборки. Они имеют гораздо более широкую область применения, чем параметрические статистические критерии.

Средний ранг

Аналогом выборочного среднего является средний ранг:

$R={\frac {1}{m}}\sum _{i=1}^{m}r_{i}.$

Линейные ранговые статистики

Многие используемые на практике ранговые статистики принадлежат семейству линейных ранговых статистик, либо асимптотически приближаются к линейным при $m\to \infty$. Линейная ранговая статистика в общем случае имеет вид:

$T=\sum _{i=1}^{m}a(i,r_{i})$,

где $a(i,j)$ — произвольная заданная числовая матрица размера $m\times m$.

Литература

• Вероятность и математическая статистика: Энциклопедия / Под ред. Ю. В. Прохорова. — М.: Большая российская энциклопедия, 2003. — 912 с.
• Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006.
• Лекционные курсы НОЦ/ Математический институт им. В. А. Стеклова РАН (МИАН). – М.: МИАН, 2009. Вып. 14: Лекции по асимптотической теории ранговых критериев / Чибисов Д. М. – 176 с.
• Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники. –3-е изд. перераб. и доп.- М.: Радио и связь, 1989. – 656с.: ил. ISBN 5-256-00264-3

Ссылки

• Статистика: функция выборки