Пусть
X
1
,
…
,
X
n
{\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}
выборка из распределения
P
X
{\displaystyle \mathbb {P} ^{X}}
вероятностном пространстве
(
Ω
,
F
,
P
)
{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}
ω
∈
Ω
{\displaystyle \omega \in \Omega }
x
i
=
X
i
(
ω
)
,
i
=
1
,
…
,
n
{\displaystyle x_{i}=X_{i}(\omega ),\;i=1,\ldots ,n}
последовательность
{
x
i
}
i
=
1
n
{\displaystyle \{x_{i}\}_{i=1}^{n}}
x
(
1
)
≤
x
(
2
)
≤
⋯
≤
x
(
n
−
1
)
≤
x
(
n
)
{\displaystyle x_{(1)}\leq x_{(2)}\leq \cdots \leq x_{(n-1)}\leq x_{(n)}}
Эта последовательность называется вариационным рядом . Вариационный ряд и его члены являются порядковыми статистиками. Случайная величина
X
(
k
)
(
ω
)
=
x
(
k
)
{\displaystyle X_{(k)}(\omega )=x_{(k)}}
k
{\displaystyle k}
[ 1]
Очевидно из определения:
X
(
1
)
=
min
(
X
1
,
…
,
X
n
)
{\displaystyle X_{(1)}=\min(X_{1},\ldots ,X_{n})}
X
(
n
)
=
max
(
X
1
,
…
,
X
n
)
{\displaystyle X_{(n)}=\max(X_{1},\ldots ,X_{n})}
править
f
X
(
k
)
(
x
)
=
n
!
(
n
−
k
)
!
(
k
−
1
)
!
[
F
X
(
x
)
]
k
−
1
[
1
−
F
X
(
x
)
]
n
−
k
f
X
(
x
)
{\displaystyle f_{X_{(k)}}(x)={\frac {n!}{(n-k)!(k-1)!}}[F_{X}(x)]^{k-1}[1-F_{X}(x)]^{n-k}f_{X}(x)}
Случайный вектор
(
X
(
j
)
,
X
(
k
)
)
⊤
{\displaystyle \left(X_{(j)},X_{(k)}\right)^{\top }}
1
≤
j
<
k
≤
n
{\displaystyle 1\leq j<k\leq n}
f
X
(
j
)
,
X
(
k
)
(
x
j
,
x
k
)
=
{
n
!
(
j
−
1
)
!
(
k
−
j
−
1
)
!
(
n
−
k
)
!
[
F
X
(
x
j
)
]
j
−
1
[
F
X
(
x
k
)
−
F
X
(
x
j
)
]
k
−
j
−
1
[
1
−
F
X
(
x
k
)
]
n
−
k
f
X
(
x
j
)
f
X
(
x
k
)
,
x
j
≤
x
k
0
,
x
j
>
x
k
{\displaystyle f_{X_{(j)},X_{(k)}}(x_{j},x_{k})=\left\{{\begin{matrix}{\frac {n!}{(j-1)!(k-j-1)!(n-k)!}}[F_{X}(x_{j})]^{j-1}[F_{X}(x_{k})-F_{X}(x_{j})]^{k-j-1}[1-F_{X}(x_{k})]^{n-k}f_{X}(x_{j})f_{X}(x_{k}),&x_{j}\leq x_{k}\\0,&x_{j}>x_{k}\end{matrix}}\right.}
Плотности стандартного непрерывного равномерного распределения и его порядковых статистик для случая n=5 . Пусть
U
1
,
…
,
U
n
∼
U
[
0
,
1
]
{\displaystyle U_{1},\ldots ,U_{n}\sim \mathrm {U} [0,1]}
стандартного непрерывного равномерного распределения . Тогда
f
U
(
k
)
(
u
)
=
n
!
(
n
−
k
)
!
(
k
−
1
)
!
u
k
−
1
[
1
−
u
]
n
−
k
,
u
∈
[
0
,
1
]
{\displaystyle f_{U_{(k)}}(u)={\frac {n!}{(n-k)!(k-1)!}}u^{k-1}[1-u]^{n-k},\quad u\in [0,1]}
то есть
U
(
k
)
∼
B
(
k
,
n
−
k
+
1
)
{\displaystyle U_{(k)}\sim \mathrm {B} (k,n-k+1)}
B
{\displaystyle \mathrm {B} }
бета-распределение ;
f
U
(
j
)
,
U
(
k
)
(
u
j
,
u
k
)
=
n
!
(
j
−
1
)
!
(
k
−
j
−
1
)
!
(
n
−
k
)
!
u
j
j
−
1
[
u
k
−
u
j
]
k
−
j
−
1
[
1
−
u
k
]
n
−
k
,
j
<
k
,
0
≤
u
j
≤
u
k
≤
1
{\displaystyle f_{U_{(j)},U_{(k)}}(u_{j},u_{k})={\frac {n!}{(j-1)!(k-j-1)!(n-k)!}}u_{j}^{j-1}[u_{k}-u_{j}]^{k-j-1}[1-u_{k}]^{n-k},\quad j<k,\quad 0\leq u_{j}\leq u_{k}\leq 1}
f
U
(
1
)
,
…
,
U
(
n
)
(
u
1
,
…
,
u
n
)
=
n
!
,
0
≤
u
1
≤
⋯
≤
u
n
≤
1
{\displaystyle f_{U_{(1)},\ldots ,U_{(n)}}(u_{1},\ldots ,u_{n})=n!,\quad 0\leq u_{1}\leq \cdots \leq u_{n}\leq 1}
![{\displaystyle f_{X_{(k)}}(x)={\frac {n!}{(n-k)!(k-1)!}}[F_{X}(x)]^{k-1}[1-F_{X}(x)]^{n-k}f_{X}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c79fa3072fbffaa19b8025e0e5d1beaa74cd229)
![{\displaystyle f_{X_{(j)},X_{(k)}}(x_{j},x_{k})=\left\{{\begin{matrix}{\frac {n!}{(j-1)!(k-j-1)!(n-k)!}}[F_{X}(x_{j})]^{j-1}[F_{X}(x_{k})-F_{X}(x_{j})]^{k-j-1}[1-F_{X}(x_{k})]^{n-k}f_{X}(x_{j})f_{X}(x_{k}),&x_{j}\leq x_{k}\\0,&x_{j}>x_{k}\end{matrix}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c39ded13ac10474e555f92e2d6703c968636d91c)
![{\displaystyle U_{1},\ldots ,U_{n}\sim \mathrm {U} [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1abbcc02676fef51d5ffafa6be2c9d62d57d80dd)
![{\displaystyle f_{U_{(k)}}(u)={\frac {n!}{(n-k)!(k-1)!}}u^{k-1}[1-u]^{n-k},\quad u\in [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3bca300a4b9065ddf85f41ec8d9f155e53276063)
![{\displaystyle f_{U_{(j)},U_{(k)}}(u_{j},u_{k})={\frac {n!}{(j-1)!(k-j-1)!(n-k)!}}u_{j}^{j-1}[u_{k}-u_{j}]^{k-j-1}[1-u_{k}]^{n-k},\quad j<k,\quad 0\leq u_{j}\leq u_{k}\leq 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/914aaae9a3ee8d7ea79ac461828b1bf0c9b843e6)
